数学の作り方
この本は「答え」ではなく「なぜ」から始めます
教科書を開くと、いきなり定義があって、定理があって、証明がある。 一行ずつは追えるのに、読み終わると「で、これは結局なんだったの？」が残る—— 数学でいちばん多いつまずきは、実はここにあります。
このサイトは、その順番をひっくり返します。 **まず「どんな困りごとがあって、人はこれを考えたくなったのか」**を作ってから、 直感 → 具体例 → そして最後に、その直感を正確に言い直したものとして定義や定理を置く。 「隣に座った友人が一緒に考えてくれる」——そういうトーンで書いています。
読者を賢いと信じます。でも、途中で置いていきません。 「ここ飛躍してない？」という感覚が出たら、それはこちらの負けです。
全体の地図
数学は大きく 解析・代数・幾何・基礎 の4つの大陸に分かれます。 どこから読んでもいいですが、多くの分野は下にいくほど前の分野を土台にします。 まずは 微分積分学 と 線形代数学 の2つが、ほぼすべての入り口です。
解析 — 「限りなく近づく」を厳密に扱う
- 微分積分学 — 極限・微分・積分。すべての解析の土台。（完成）
- 複素解析 — 複素数で微分すると、驚くほど世界が綺麗になる。（完成）
- 微分方程式 — 変化の法則から未来を復元する。（完成）
- 測度論・ルベーグ積分 — 「面積」を測り直して積分を作り直す。（完成）
- 関数解析 — 関数を「点」とみなす無限次元の線形代数。（完成）
- 実解析・フーリエ解析 — 波の重ね合わせで関数を分解する。（完成）
- 確率論 — 偶然を測度論の言葉で厳密にする（統計学まで）。（完成）
- 偏微分方程式（発展） — 熱・波・ポテンシャルの現代的な扱い。（完成）
- 変分法 — 「いちばん良い形」を方程式にする。（完成）
代数 — 「構造」だけを抜き出して調べる
- 線形代数学 — ベクトル・行列・固有値。もう一つの入り口。（完成）
- 群論 — 「対称性」そのものを数学にする。（完成）
- 環論 — 足し算と掛け算がある世界の整数論。（完成）
- 体論・ガロア理論 — 方程式が解けるか否かを対称性で見抜く。（完成）
- 加群論 — ベクトル空間を環の上へ一般化する。（完成）
- 表現論 — 抽象的な群を行列として「見える化」する。（完成）
- 可換環論・ホモロジー代数 — 代数幾何と数論の共通言語。（完成）
- 代数的整数論 — 整数の世界を広げて素因数分解を取り戻す。（完成）
- 非可換環・リー環 — 半単純環とリー環の構造論。（完成）
幾何 — 「曲がった空間」の形を測る
- 多様体論 — 曲がった空間の上で微積分をやり直す。（完成）
- 位相幾何学 — 穴の数を代数で数える。（完成）
- 微分幾何学 — 曲線と曲面の「曲がり具合」を測る。（完成）
- リー群 — 連続的な対称性の群。（完成）
- リーマン幾何学 — 距離の入った多様体の幾何。（完成）
- 代数幾何学 — 方程式の零点を図形として扱う。（完成）
- 微分位相幾何学 — 滑らかな写像で多様体を分類する。（完成）
- 複素幾何学 — 複素数で座標を入れた多様体。（完成）
- シンプレクティック幾何学 — 古典力学の幾何。（完成）
基礎 — 数学そのものを支える土台
- 集合と位相 — 「近い」とは何かを集合の言葉で定義する。（完成）
- 数理論理学・数学基礎論 — 証明とは何か、を数学の対象にする。（完成）
- 圏論 — 分野をまたいで「同じ形」を見つける言語。（完成）
読み方
各分野のトップページは、その分野全体の地図になっています。 まず地図を眺めて景色を掴んでから、章に入ってください。 現在は 微分積分学・線形代数学・集合と位相・数理論理学・数学基礎論・群論・環論・体論・ガロア理論・複素解析・微分方程式・位相幾何学・多様体論・測度論・ルベーグ積分・微分幾何学・関数解析・実解析・フーリエ解析・圏論・リー群・リーマン幾何学・代数幾何学・加群論・表現論・確率論（統計学含む）・可換環論・ホモロジー代数・微分位相幾何学・偏微分方程式（発展）・変分法・代数的整数論・非可換環・リー環・複素幾何学・シンプレクティック幾何学 が本文まで完成しています。全 30 分野すべての本文が完成しました。