複素幾何学

「複素解析」と「多様体」が出会うと、幾何が硬くなる

複素解析では、複素微分できる（正則）というだけで関数が異様に硬く・美しく なりました。多様体では、曲がった空間の上で微積分をしました。この二つを掛け合わせ、 複素数で座標を入れた多様体を考えるのが複素幾何学です。

すると、実の世界では自由だった量が、正則性という強い縛りのおかげでガチガチに制約されます。 微分形式は $(p,q)$ 型に細かく分類され（ドルボー作用素）、コホモロジーが豊かな構造を持つ。 とくに計量が正則構造と調和するケーラー多様体では、ホッジ理論という奇跡が起こり、 位相的な情報（穴の数）が複素解析的な情報にぴたりと分解される。代数幾何と微分幾何が 一つに融合する、現代幾何の華です。

複素解析の“硬さ”を多様体に持ち込む。ケーラー計量とホッジ理論で位相と解析が一致する。

この分野の地図

「複素構造と $\bar\partial$ を用意する」→「ケーラー計量でホッジ理論を起こす」→「直線束で幾何を制御する」の順に進みます。

複素多様体と ∂̄

1. 複素多様体とは — 正則座標で貼り合わせる・$\mathbb{CP}^n$・リーマン面
2. 概複素構造と可積分性 — $J$・ニューランダー–ニーレンバーグ
3. ドルボー作用素と (p,q) 形式 — $d=\partial+\bar\partial$・$\bar\partial^2=0$
4. ドルボーコホモロジー — $\bar\partial$-コホモロジー・ドルボーの定理

ケーラー幾何

5. エルミート計量とケーラー形式 — 基本形式 $\omega$・ケーラー条件 $d\omega=0$
6. ケーラー多様体 — フビニ–スタディ計量・なぜ特別か
7. 調和形式とホッジ分解 — ラプラシアン・調和形式 ＝ コホモロジー

ホッジ理論と直線束

8. ケーラー恒等式とホッジ分解 — $H^k=\bigoplus H^{p,q}$・ホッジ数
9. ホッジ理論の帰結 — ホッジ・ダイヤモンド・レフシェッツ
10. 正則直線束とチャーン類 — 直線束・因子・第一チャーン類
11. 小平の消滅・埋め込み定理 — 正の直線束・射影多様体の特徴づけ
12. 総括と展望 — GAGA・カラビ–ヤウ・ミラー対称性

前提

複素解析（正則関数・コーシー）、多様体論（微分形式・外微分・積分）、 リーマン幾何学（計量・接続）が土台。第9–12章は 代数幾何学（射影空間・直線束・層コホモロジー）と深く融合します。

準備ができたら 第1章：複素多様体とは へ。