数理論理学・数学基礎論

数学が、自分自身を調べ始める

これまでの分野は「数学を使って」何かを調べてきました。数理論理学は、視線を反転させます。 「証明する」「正しい」「計算する」という営みそのものを、数学の対象として調べるのです。

すると、めまいのするような問いが立ち上がります。「正しいこと」は「証明できること」と一致するのか （→ゲーデルの完全性定理）。数学は自分の無矛盾性を自分で証明できるのか（→不完全性定理：できない）。 何が「計算可能」で、何が原理的に計算不能なのか（→停止性問題）。連続体仮説は真か偽か （→どちらでもない、証明も反証もできない）。数学の可能性と限界を、数学自身の手で描き出す—— 最も哲学的で、最もスリリングな分野です。

この分野は特に形式的証明に力点を置いています。健全性・完全性（ヘンキン構成）・カット除去・ 対角線補題・不完全性定理を、飛躍なく完全な証明として追います。証明木の可視化・真理値表の実演つき。

この分野の地図

構文と意味論を分離し、両者の一致（完全性）と限界（不完全性）へ登ります。順番に読むのがおすすめです。

記号論理学

1. 命題論理 — 構文と意味 — 論理式・付値・トートロジー・ブール代数
2. 証明体系 — ヒルベルト系と自然演繹 — 演繹定理・形式的証明木
3. 健全性と完全性（命題論理） — 極大無矛盾集合・コンパクト性
4. 一階述語論理 — 構文 — 量化子・自由変数・代入
5. 意味論 — タルスキの真理定義 — 構造・充足・論理的帰結
6. 一階の証明体系と健全性 — 量化子規則・固有変数条件
7. ゲーデルの完全性定理 — ヘンキンの構成（完全証明）
8. コンパクト性とレーヴェンハイム–スコーレム — 超準モデル・スコーレムのパラドックス

証明論

9. シークエント計算とカット除去 — ゲンツェンの基本定理
10. 非古典・高階の論理 — 直観主義・様相・高階・多値

計算可能性理論

11. 計算可能性 — 計算モデル — チューリング機械・λ計算・チャーチ–チューリング
12. 決定不能性 — 停止性問題・還元・チューリング次数

不完全性

13. ゲーデルの不完全性定理 — 対角線補題・第一/第二定理（完全証明）・ゲンツェン

公理的集合論

14. 公理的集合論 ZFC — 順序数・超限帰納法・基数
15. 独立性 — L・強制法・巨大基数 — 連続体仮説の独立性

型理論・構成的数学

16. 型理論・構成的数学 — カリー–ハワード・HoTT・逆数学

前提

集合と位相（濃度・選択公理・コンパクト性）の素養があると、随所で伏線が回収されて読みやすいです。 微分積分学の $\varepsilon$-$\delta$ に触れていれば、構文と意味論の分離が腑に落ちます。

準備ができたら 第1章：命題論理 へ。