表現論

抽象的な群を、行列に翻訳して「見える化」する

群は対称性の骨格でした（群論）。でも抽象的な群は、そのままでは扱いにくい。 そこで発想を変えます。群の各元を、具体的な行列に対応させる——群の掛け算が行列の掛け算に なるように翻訳するのです。これが「表現」。抽象的な対称性を、線形代数という計算可能な世界に 写し取る営みです。

翻訳の仕方は一通りではありません。そこで「もうこれ以上小さく分解できない翻訳（既約表現）」を 基本部品として、すべての表現をその組み合わせに分解します。さらに驚くべきことに、各表現から 「指標」というたった数個の数を取り出すだけで、表現の全情報が復元できてしまう。 物理（素粒子・結晶）から数論まで、対称性のあるところ表現論あり、と言える強力な道具です。

群を行列に翻訳し、既約な部品に分解する。全情報は「指標」に凝縮される。

この分野の地図

表現の基礎 → 指標理論 → 具体例と発展、と積み上げます。順番に読むのがおすすめです。

表現の基礎 — 群を行列に、既約に分ける

1. 表現とは — 群を行列に翻訳（二面体群を体感）
2. 既約表現と完全可約性 — マシュケの定理
3. シューアの補題 — 既約間の写像はゼロか同型
4. 表現と群環 — 表現＝群環の加群

指標理論 — トレースに凝縮する

5. 指標 — トレースに凝縮する — 類関数（体感）
6. 指標の直交関係 — 重複度を内積で読む
7. 指標表 — 行も列も直交（体感）
8. 分解と基本等式 — 二乗和・射影公式

具体例と発展 — 実践と応用

9. 指標表を作る — S₃・S₄ を構成
10. 制限と誘導 — フロベニウスの相互律 — 部分群と全体群
11. 応用 — バーンサイドの定理 — 表現論で群論を証明
12. コンパクト群・リー群への橋と総まとめ — ピーター–ワイル

前提

群論（共役類）・線形代数学（対角化・内積・トレース）が必須。 加群論（群環・半単純環）の視点で深まり、フーリエ解析・リー群（コンパクト群）へつながります。

準備ができたら 第1章：表現とは から。