可換環論・ホモロジー代数
「方程式の零点」と「環」を、同じものとして扱う土台
方程式 の零点は図形（曲線）を描きます。一方、その方程式が生む多項式環という 代数的対象もある。この図形と環が、実は同じ情報を持っている——これが代数幾何学の魂で、 その辞書を精密に整備するのが可換環論です。「一点だけを拡大鏡で見る（局所化）」「有限性を保証する （ネーター環）」「整数の 的な拡張（整拡大）」といった道具で、零点集合と環を自在に往復し、 環の「大きさ（次元）」や「滑らかさ（正則性）」を定義します。
もう一つの柱、ホモロジー代数は、「完全系列がどこで破れるか」を測る技術です。 系列がぴったりつながらない“ズレ”を Ext・Tor という不変量で捉える。この「ズレを測る」発想は、 位相幾何学 の穴の数え上げと同じ精神で、代数・幾何・数論を貫きます。 そして最終章、二つの柱はセールの定理「正則局所環 ⟺ 有限大域次元」——幾何の滑らかさとホモロジーの 有限性が一致する——で一つに溶け合います。
図形と環を同一視する辞書（可換環論）と、「ズレ」を測る技術（ホモロジー代数）。両者は正則性で統合される。
この分野の地図
前半「可換環論」で環の幾何を作り、後半「ホモロジー代数」でズレを測る道具を作り、最終章で統合します。
可換環論 — 図形と環の辞書
- 局所化 — 一点を拡大鏡で見る — 積閉集合・局所環・素イデアルの対応
- ネーター環と連鎖条件 — 昇鎖条件・ヒルベルト基底定理・準素分解
- 整拡大と零点定理 — 整元・上昇定理・正規化・ヒルベルトの零点定理
- クルル次元 — 素イデアルの鎖・高さ・単項イデアル定理（鎖を手で動かす）
- 離散付値環とデデキント環 — 付値・イデアルの素イデアルへの一意分解
- 完備化と正則局所環 — 余接空間 ・正則性・完備化
ホモロジー代数 — ズレを測る機械
- 複体とホモロジー — ・ホモロジー・鎖ホモトピー
- 蛇の補題と分解 — 連結準同型・長完全系列・射影/入射分解
- 導来関手 — Ext と Tor — 分解に施す一般機械・ねじれと拡大の分類
統合 — 可換環論とホモロジーの握手
- 正則列とコズュル複体 — 独立に切れる方程式・深さを Ext で測る
- コーエン–マコーレー環 — 深さ＝次元の均整・非混合定理
- 大域次元と正則性 — アウスランダー–ブックスバウム・セールの定理
前提
環論（イデアル・素イデアル・整域）・加群論（完全系列・射影/入射/平坦・Ext/Tor 入門）が 前提です。代数幾何学 と鏡写しの関係にあり、代数的整数論 への 土台にもなります。
準備ができたら 第1章：局所化 — 一点を拡大鏡で見る へ。