複素解析

「複素数で微分できる」だけで、なぜこんなに世界が変わるのか

実数の関数は、なめらかでも意外とわがままです。無限回微分できてもテイラー級数が元に戻らない （微積分で見た $e^{-1/x^2}$ の例）ような病的な現象が起こる。

ところが舞台を複素数に移し、「複素数として微分できる（正則）」というたった一つの条件を課すと、 状況が一変します。一度微分できれば自動的に何回でも微分でき、必ずべき級数に展開でき、 値は境界だけで決まってしまう。実解析での「例外」が、複素解析では「定理」になる—— この気持ちよさが、複素解析を数学で最も美しい分野の一つにしています。

この分野のゴール：コーシーの積分定理を心臓に据え、無限回微分可能性・留数計算・等角写像・ 解析接続という「複素だけの奇跡」を、可視化しながら手に入れること。

この分野の地図

正則関数（1〜3章）→ 複素積分（4〜5章）→ 級数と特異点（6〜7章）→ 留数（8〜10章）→ 写像論（11〜12章）と進みます。 順番に読むのがおすすめです。

正則関数

1. 複素微分とコーシー–リーマン方程式 — 全方向からの極限
2. 正則関数・調和関数・等角性 — 角度を保つ写像（可視化）
3. べき級数と初等関数 — オイラーの公式・多価性

複素積分

4. 複素積分とコーシーの積分定理 — グルサの三角形分割
5. コーシーの積分公式 — リウヴィル・代数学の基本定理

級数と特異点

6. テイラー展開と一致の定理 — 正則＝解析的・剛性
7. ローラン展開と特異点 — 除去可能・極・真性（位相ポートレート）

留数

8. 留数定理 — たった一つの係数
9. 実積分への応用 — 定積分を複素で解く
10. 偏角の原理とルーシェの定理 — 零点を数える

写像論

11. 最大値原理と等角写像 — シュワルツの補題・リーマンの写像定理
12. 解析接続 — モノドロミー・鏡像の原理

前提

微分積分学（とくに級数・べき級数・線積分）と複素数の四則が分かれば読めます。 集合と位相（連結・コンパクト）も随所で使います。

準備ができたら 第1章：複素微分 からどうぞ。