群論

「対称性」に、共通の言葉を与える

正三角形をひっくり返しても回しても、同じ形に見えます。方程式 $x^2=2$ の解 $\pm\sqrt2$ は 入れ替えても方程式は変わりません。ルービックキューブの操作、結晶の構造、素数の並び—— まったく別物に見えるこれらに、実は**同じ「対称性の骨格」**が潜んでいます。

群論は、その骨格だけを抜き出す言語です。対称性とは「ある操作をしても変わらない」こと。 操作を集めて「続けて行う」という掛け算を入れると、群という構造になる。 たったこれだけの約束（結合則・単位元・逆元）から、驚くほど豊かな理論が育ち、 最終的には「5次方程式に解の公式が無い」という有名な事実まで説明します（→体論・ガロア理論）。

この分野のゴール：ラグランジュ・群作用・シロー理論で有限群の構造を解き明かし、$A_5$ の単純性が 5次方程式の解の公式の不存在を導くところまで到達すること。

この分野の地図

群の基本（1〜5章）→ 群作用（6〜7章）→ 有限群の構造（8〜11章）→ 組み立て（12章）と進みます。 順番に読むのがおすすめです。

群の基本

1. 群とは何か — 公理・例・部分群・位数（ケイリー表で体感）
2. 巡回群と生成 — 元の位数・巡回群の分類・生成系
3. 剰余類とラグランジュの定理 — 剰余類による分割・指数
4. 正規部分群と剰余群 — 準同型・核・像
5. 同型定理 — 第一〜第三同型定理・対応定理

群作用

6. 群作用 — 軌道–安定化群定理・類等式・コーシーの定理
7. 数え上げ — バーンサイドの補題 — 対称性を除いた場合の数

有限群の構造

8. シロー理論 — 第一・第二・第三定理と群の決定
9. 対称群と交代群の単純性 — 符号・$A_n$ の単純性（n≥5）
10. 有限アーベル群の基本定理 — 不変因子・初等因子
11. 可解群とべき零群 — 組成列・ジョルダン–ヘルダー

具体的な群の構成

12. 群の構成 — 直積・半直積・表示 — 二面体群・四元数群・自由群

前提

集合と写像の基礎があれば始められます。抽象代数の入り口として最適です。 線形代数学（同型定理・アーベル群とジョルダン標準形の対応）と響き合います。

準備ができたら 第1章：群とは何か へ。