リー群（入門）

「回転」のように連続的に動く対称性

群論で扱った対称性は、三角形の裏返しのようにとびとびでした。 でも「平面の回転」は角度 $\theta$ をなめらかに動かせる、連続的な対称性です。 回転群、行列の群、時空の対称性——これらは「群」であると同時に「なめらかな空間 （多様体）」でもある。この二つの顔を併せ持つのがリー群です。

連続だからこそ「微分」ができます。単位元のところで群を微分して得られる“無限小の対称性”が リー環（非可換環・リー環）。そして指数写像 $\exp$ が、無限小 （リー環）を有限の対称性（リー群）へと積み上げる。曲がった群論を、線形なリー環の問題に 落として調べる——この「群 ↔ 環」の対応が、リー理論の心臓です。

群でも多様体でもある対象。指数写像で「無限小の対称性（リー環）」へ線形化して調べる。

この分野の地図

リー群とリー環 → 指数写像と対応 → 構造と表現、と積み上げます。順番に読むのがおすすめです。

リー群とリー環 — 連続対称性を線形化する

1. リー群とは — 群かつ多様体・均質性
2. 古典群 — GL・SL・O・U・Sp（何を保つか）
3. リー環 — 単位元の接空間 — 1パラメータ部分群
4. リー括弧 — 無限小の非可換性 — 回転の順序を体感

指数写像と対応 — 無限小から有限へ

5. 指数写像 — 直線が群に巻きつく（体感）
6. BCH公式と局所同相 — 積が括弧で書ける
7. リー群–リー環対応 — 環が群を局所的に決める
8. 随伴表現 — Ad と ad・キリング形式

構造と表現 — 群の幾何と表現論

9. 閉部分群定理と等質空間 — G/H と球面
10. コンパクト群とハール測度 — 平均化の魔法
11. 表現論入門 — SU(2)と角運動量 — スピンの分類
12. 分類への展望とまとめ — ルート系・標準模型へ

前提

群論・線形代数学（行列・固有値・内積）・多様体論（接空間）が土台。 $e^{tA}$ で 微分方程式、ハール測度で 測度論 を使います。 深化は 非可換環・リー環・表現論 と行き来します。

準備ができたら 第1章：リー群とは から。