微分位相幾何学

「毛の生えた球はきれいに撫でつけられない」を証明する

球面全体に毛が生えているとして、すべての毛をなめらかに寝かせることはできるか？ ——できません。必ずどこかにつむじ（渦）ができる。この「毛玉の定理」は直感的には不思議ですが、 微分位相幾何学はこれを厳密に証明し、しかも「つむじの個数の総和は、球という形で決まっている （＝オイラー標数）」という深い事実まで明かします。

道具は三つ。横断性——写像がどれくらい“素直に”交わるかを制御し、めったに起きない退化を避ける （サードの定理）。写像度と交叉理論——交わりや逆像の点を符号付きで数えた整数が、動かしても変わらない 不変量になる。そしてモース理論——関数の山や谷（臨界点）を数えるだけで、多様体の形（ハンドル分解・ ホモロジー）が復元できる。微分の情報から、空間の大域的な形を読み取る技術です。

なめらかな写像と関数の臨界点から、多様体の大域的な形を復元・分類する。局所の微分が大域の位相を決める。

この分野の地図

「横断性で一般の位置に」→「数える不変量」→「臨界点から形を読む」→「多様体を分類する」の順に進みます。

横断性 — 一般の位置の原理

1. なめらかな世界とサードの定理 — 正則値の逆像・臨界値は測度 0
2. 横断性 — 素直な交わり・摂動で横断的にできる
3. ホイットニーの埋め込み定理 — はめ込み・埋め込み・$\mathbb{R}^{2n+1}$ へ

写像度と交叉理論 — 符号付きで数える

4. mod 2 写像度 — 個数の偶奇・ブラウワーの不動点定理
5. 向きとブラウワー写像度 — 符号付き写像度・代数学の基本定理
6. 交叉理論 — 交叉数・自己交叉とオイラー類
7. ポアンカレ–ホップの定理 — 零点の指数の総和 ＝ オイラー標数・毛玉の定理

モース理論 — 臨界点から形を読む

8. モース関数とモースの補題 — 非退化臨界点・指数・標準形
9. ハンドル分解 — 劣位集合の変化・ハンドル接着（水位を動かす）
10. モース不等式 — 臨界点 ≥ ベッチ数・オイラー標数公式
11. モースホモロジー — 勾配の流れ線・$\partial^2=0$・特異ホモロジーと一致

分類 — 多様体そのものを分ける

12. コボルディズムとエキゾチック球面 — ポントリャーギン–トム・h同境・微分構造の驚異

前提

多様体論（チャート・接空間・正則値定理・サード・ベクトル場と流れ）と 位相幾何学（ホモロジー・オイラー標数・CW 複体）が土台です。 第7章は 微分幾何学 のガウス–ボンネと双子の関係にあります。

準備ができたら 第1章：なめらかな世界とサードの定理 へ。