微分積分学

「限りなく近づく」を、ちゃんと言葉にしたい

高校でも微分積分は習います。接線の傾き、面積、$\lim$。 道具としては使えるのに、「$\lim$ って結局どういう意味？」と聞かれると、 たいていの人は「限りなく近づく…」と言葉を濁します。

その 「限りなく」 を、誰が読んでも同じ意味に取れる言葉で書き直すこと—— それがこの分野の出発点であり、いちばんの山場です。 ここさえ越えれば、連続・微分・積分・級数はすべて「同じ気持ちの言い換え」として すらすらつながっていきます。逆にここを飛ばすと、後で必ず「なんで？」が溜まります。

このページ群のゴール：極限の $\varepsilon$-$\delta$ という一つの型を身につけ、 それだけを武器に一変数から多変数・重積分・ベクトル解析まで登り切ること。

この分野の地図

下にいくほど前の内容を使います。順番に読むのがおすすめです。

1. 極限を厳密にする（ε-N・ε-δ） — 「限りなく近づく」を言葉にする
2. 実数の連続性 — なぜ実数だと極限が「ちゃんとある」のか
3. 級数の収束 — 無限に足す、を安全に扱う
4. べき級数 — 関数を無限次の多項式とみなす
5. 連続関数と平均値定理 — 「つながっている」から何が言えるか
6. テイラー展開 — 関数を多項式で近似する
7. リーマン積分と広義積分 — 面積を厳密に定義する
8. 一様収束 — 極限の順番を入れ替えてよい条件
9. 偏微分と全微分 — 多変数で「傾き」をどう定義するか
10. 陰関数定理と極値問題 — 方程式が定める曲線と最大最小
11. 重積分 — 多変数の積分と変数変換
12. ベクトル解析 — 微分積分学の総仕上げ、3つの積分定理

前提

高校の微分積分（$\lim$・導関数・定積分の計算）に触れたことがあれば十分です。 $\varepsilon$-$\delta$ は初めてで構いません。むしろ、そこを一緒に作っていくのがこの分野の主役です。

準備ができたら 第1章：極限を厳密にする へ。