関数解析
関数を「点」だと思うと、微分方程式が線形代数になる
線形代数はベクトルと行列の理論でした。関数解析は、その舞台を無限次元へ広げます。 一つの関数 を、無限次元空間の一つの点（ベクトル）とみなす。すると 「微分する」「積分する」「方程式を解く」といった操作が、すべて線形作用素として捉え直せます。
なぜそんなことをするのか。微分方程式や量子力学の問題が、突然「線形代数の問題」に見えてくるからです。 ただし無限次元では有限次元の常識が崩れます（有界と閉だけではコンパクトでない！）。 その差を埋めるために「完備なノルム空間（バナッハ）」「内積のある完備空間（ヒルベルト）」という 良い舞台を用意し、そこで解の存在や近似を保証していきます。
無限次元の線形代数。ただし「収束」を扱うぶん、位相と完備性が主役になります。
この分野の地図
ノルム・完備性 → ヒルベルト空間の幾何 → 双対と三大定理 → 作用素論、と積み上げます。順番に読むのがおすすめです。
ノルム空間・バナッハ空間 — 無限次元の舞台
- 無限次元へ — ノルム空間 — 関数を点とみなす・コンパクト性の崩壊
- バナッハ空間と完備性 — 完備性・絶対収束
- 有界線形作用素 — 作用素ノルム・連続＝有界・ノイマン級数
ヒルベルト空間 — 内積の幾何
- ヒルベルト空間と直交射影 — 最良近似＝直交射影（体感）
- 正規直交系とフーリエ展開 — 射影としてのフーリエ・パーセバル（体感）
- リースの表現定理と随伴作用素 — 自己双対・自己共役
双対と三大定理 — 一般バナッハ空間の背骨
- ハーン–バナッハの定理 — 双対は豊か・分離定理
- 双対空間・反射性・弱位相 — 弱コンパクト性を取り戻す
- ベールのカテゴリーと一様有界性原理 — 各点有界⇒一様有界
- 開写像定理と閉グラフ定理 — 逆の連続性・連続性の抜け道
作用素論 — 無限次元の対角化
- コンパクト作用素とフレドホルム理論 — 有限次元的な作用素・択一定理
- スペクトル理論 — スペクトル分解・量子力学へ
前提
線形代数学（内積・固有値・対角化）・微分積分学・集合と位相（完備性・コンパクト性）、 そして 測度論（ 空間・リース–フィッシャー）が土台。応用は フーリエ解析・ 偏微分方程式（発展） へ。
準備ができたら 第1章：無限次元へ から。