第1章方程式と図形

式は図形であり、図形は式である

$x^2+y^2=1$ と書けば、多くの人は二つのものを同時に思い浮かべます——ひとつは方程式（代数の対象）、もうひとつは円（幾何の図形）。この「式と図形は同じものの表と裏」という当たり前の事実を、極限まで突き詰めるのが代数幾何学です。

狙いは双方向の辞書を作ること。幾何の問い（この曲線は何本の直線に分かれるか、どこで尖っているか）を、代数の計算（多項式が積に分解するか、微分が消えるか）で解く。逆に、代数の構造（イデアル・環）を、図形の直感で見る。「方程式の零点集合」と「その方程式が生むイデアル（環論）」が、実は完全に同じ情報を持っている——これを保証するのが後のヒルベルトの零点定理（第3章）です。まずは、辞書の両端を定義しましょう。

代数幾何＝「方程式（代数）」と「零点集合（幾何）」を同一視する学問。両者を結ぶ辞書を作るのが目標。

アフィン空間と代数的集合

図形の側から始めます。舞台は座標のついた空間、そこに住む図形は「多項式の零点集合」です。以下、 $k$ を体（多くは複素数体 $\mathbb C$ 、または代数閉体）とします。

定義アフィン空間・代数的集合

$n$ 個の座標の組の全体 $\mathbb A^n=k^n$ をアフィン空間という。多項式の集合 $S\subseteq k[x_1,\dots,x_n]$ に対し、その共通零点

V(S)=\{\,p\in\mathbb A^n : f(p)=0\ (\forall f\in S)\,\}

を代数的集合（アフィン多様体）という。「連立方程式 $S=0$ の解集合」。

$V(S)$ は「 $S$ に属するすべての多項式を同時にゼロにする点の全体」。円 $V(x^2+y^2-1)$ 、放物線 $V(y-x^2)$ 、二直線 $V(xy)$ ——身近な図形がみな代数的集合です。下で、いろいろな多項式の零点集合を眺めてください。

f(x, y) ＝

多項式を選ぶと、その零点集合 $V(f)$ が描かれます。方程式ひとつが図形ひとつを定める。 $xy=0$ を選ぶと二直線の和集合になる——これは $xy$ が $x$ と $y$ の積だからで、後で「可約」として深掘りします。節点・尖点をもつ曲線では、特異点（青い印、勾配が消える点）が現れます。式の性質（因数分解・微分）が、図形の性質（分解・尖り）にそのまま映るのが見て取れます。

幾何から代数へ——イデアル I(X)

いま「多項式 → 図形」（ $V$ ）を作りました。逆向き「図形 → 多項式」も要ります。図形 $X$ に対し、 $X$ 上でずっとゼロになる多項式の全体を集めるのです。

定義図形のイデアル

部分集合 $X\subseteq\mathbb A^n$ に対し、

I(X)=\{\,f\in k[x_1,\dots,x_n] : f(p)=0\ (\forall p\in X)\,\}

を $X$ のイデアルという。 $I(X)$ は環論の意味でイデアル（和・多項式倍で閉じる）。

$I(X)$ がイデアルになるのは自然です。 $X$ 上で消える二つの多項式の和も消えるし、 $X$ 上で消える多項式に何を掛けても消える。こうして、**幾何の対象（図形 $X$ ）から代数の対象（イデアル $I(X)$ ）**が生まれます。 $V$ と $I$ が、辞書の両方向の翻訳です。

V と I の対応——ガロア対応の影

$V$ （代数→幾何）と $I$ （幾何→代数）は、互いに“ほぼ逆”の関係にあります。この対応の骨格は、集合とイデアルの包含を逆にする——大きい図形ほど、そこで消える多項式は少ない。

定理 V と I の基本性質

包含を逆転： $X\subseteq Y\Rightarrow I(X)\supseteq I(Y)$ 、 $S\subseteq T\Rightarrow V(S)\supseteq V(T)$ 。
$V(I(X))=\overline X$ （ $X$ を含む最小の代数的集合＝閉包）、 $I(V(S))\supseteq S$ 。
$I(V(I(X)))=I(X)$ 、 $V(I(V(S)))=V(S)$ （一往復半で安定）。

包含を逆転させる一対の対応——これは体論・ガロア理論の「部分群 ↔ 中間体」の対応と同じ構造（ガロア対応）です。ただし、 $V$ と $I$ が完全な逆対応になるには一手足りません。 $I(V(S))\supseteq S$ が等号にならない——たとえば $V(x^2)=V(x)=\{0\}$ で図形は同じなのに、 $x^2$ と $x$ は違う。「べき乗のぶんの曖昧さ」を埋めるのが、第3章のヒルベルトの零点定理です。いまはこの“ずれ”を覚えておきます。

注意なぜ複素数（代数閉体）で考えるか

実数上だと $V(x^2+y^2+1)=\varnothing$ （実解なし）のように、図形が消えてしまい辞書が壊れる。代数閉体（体論：すべての多項式が根をもつ、 $\mathbb C$ など）で考えると、「 $f\ne$ 定数なら $V(f)\ne\varnothing$ 」が保証され、代数と幾何がずれなく対応する。代数幾何の標準の舞台が $\mathbb C$ （や代数閉体）なのはこのため。実数の曲線は“影”にすぎず、本当の姿は複素で見える。

つまずきポイント

注意よくある誤解

$V$ は多項式の集合から、 $I$ は点の集合から。 $V(S)$ ：式→図形、 $I(X)$ ：図形→式。向きを取り違えない。二つで辞書をなす。
$V$ と $I$ は包含を逆転する。 図形が大きいほど、そこで消える多項式は少ない。ガロア対応と同じ構造。
$I(V(S))=S$ とは限らない。 $V(x^2)=V(x)$ だが $x^2\ne x$ 。べき乗の曖昧さが残る（零点定理で根基をとると解決、第3章）。
舞台は代数閉体（ $\mathbb C$ ）。 実数だと図形が空になり辞書が壊れる。真の姿は複素で。

この章のまとめ

代数幾何は「方程式（代数）↔ 零点集合（幾何）」を同一視する。舞台はアフィン空間 $\mathbb A^n$ 、図形は代数的集合 $V(S)$ （連立方程式の解集合）。
逆向きに、図形 $X$ からイデアル $I(X)$ （ $X$ 上で消える多項式の全体）を作る。 $V$ と $I$ が双方向の辞書。
$V,I$ は包含を逆転し（ガロア対応と同じ構造）、ほぼ逆対応。ただし $I(V(S))\supseteq S$ が等号にならない“べき乗の曖昧さ”が残る。舞台は代数閉体（ $\mathbb C$ ）。
図形（閉集合）の集まりは、空間に位相を入れる。次章では、代数的集合を閉集合とする独特な位相——ザリスキ位相を導入します。

次章では、代数的集合を閉集合とするザリスキ位相を定義し、その「粗さ」と既約分解を調べます。

第1章 方程式と図形