第2章ザリスキ位相

図形の集まりに位相を入れる

前章で代数的集合 $V(S)$ ——多項式の零点集合——を作りました。これらを「閉集合」とみなすと、アフィン空間に位相が入ります。ザリスキ位相です。ただし、これはふつうの（距離から来る）位相とは似ても似つかない、奇妙で粗い位相。その奇妙さこそが、代数幾何に固有の概念——既約性——を生みます。

なぜわざわざ変わった位相を入れるのか。代数的集合は多項式で定義されるので、その“自然な”閉集合は距離の閉集合ではなく、零点集合であるべきだから。位相の言葉（閉集合・連結・成分）を使うと、図形の分解や次元がきれいに語れます。

ザリスキ位相＝代数的集合を閉集合とする位相。極端に粗く、既約性という代数幾何固有の概念を生む。

ザリスキ位相の定義

定義ザリスキ位相

$\mathbb A^n$ のザリスキ位相とは、代数的集合 $V(S)$ を閉集合とする位相（開集合はその補集合）。これが位相の公理をみたす：

$\varnothing=V(1)$ 、 $\mathbb A^n=V(0)$ は閉。
任意個の交わり $\bigcap V(S_\alpha)=V(\bigcup S_\alpha)$ は閉。
有限個の和 $V(S)\cup V(T)=V(\{fg:f\in S,g\in T\})$ は閉。

三つの公理が代数的にみたされる点に注目してください。とくに「和が閉」が $V(S)\cup V(T)=V(ST)$ という 積のイデアルで書けるのが要（前章の $V(xy)=V(x)\cup V(y)$ ）。図形の和集合が、多項式の積に対応します。

ザリスキ位相は「異様に粗い」

この位相の異様さを、いちばん簡単な $\mathbb A^1$ （直線）で見ます。ふつうの位相と天と地ほど違います。

定理 𝔸¹ のザリスキ閉集合

$\mathbb A^1$ （一変数）のザリスキ閉集合は、 $\varnothing$ 、有限個の点、 $\mathbb A^1$ 全体のいずれか。（一変数多項式 $f\ne0$ の零点は有限個だから。）

つまり $\mathbb A^1$ で「閉集合＝有限集合か全体」。だから空でない開集合はどれも「有限個の点を除いた全体」で、 どの二つの開集合も必ず交わる。距離の位相なら開区間はいくらでも小さくできますが、ザリスキ位相では開集合が巨大すぎて分離できない。「ハウスドルフでない」「点列の極限が定まらない」——集合と位相の常識が通じない、と身構える必要があります。

注意粗いことは欠点でない

ザリスキ位相が粗いのは、閉集合を「多項式で定義できるもの」に絞ったから。この“少なさ”ゆえに、閉集合＝図形の分解（既約成分）がきれいに有限で終わる。ふつうの位相の細かさは代数幾何には邪魔で、粗さこそが代数と幾何の対応を保つ。「位相」という言葉に距離のイメージを持ち込まず、純粋に開閉の代数として扱うのがコツ。

既約性——これ以上分けられない図形

粗いザリスキ位相が生む主役が既約性です。 $V(xy)$ は二直線に「分かれた」——こういう分解できる図形と、円のように分解できない図形を区別します。

定義既約

空でない代数的集合 $X$ が既約であるとは、 $X=X_1\cup X_2$ （ $X_1,X_2$ は閉、 $\ne X$ ）と真に二つの閉集合に分けられないこと。既約な代数的集合を（狭義の）アフィン多様体という。

円 $V(x^2+y^2-1)$ は既約（一本の曲線）、 $V(xy)$ は可約（二直線 $V(x)\cup V(y)$ に分かれる）。この幾何的な「分解」が、代数ではイデアルの素性に対応します——これが代数幾何の核心の対応の一つです。

定理既約 ⟺ 素イデアル

代数的集合 $X$ が既約 $\iff$ そのイデアル $I(X)$ が素イデアル（ $fg\in I\Rightarrow f\in I$ または $g\in I$ ）。

証明

$X$ 可約 $X=V(I_1)\cup V(I_2)$ なら、各 $V(I_i)\subsetneq X$ 上で消えない $f_i\in I_i\setminus I(X)$ がとれ、 $f_1f_2$ は $X$ 全体で消えるので $f_1f_2\in I(X)$ だが $f_i\notin I(X)$ —— $I(X)$ は素でない。逆も同様に、 $I(X)$ が素でなければ $X$ を分解できる。∎

「図形が分解できない（既約）」＝「イデアルが素（ $fg$ が消えるなら $f$ か $g$ が消える）」。前章のガロア対応が、ここで既約多様体 ↔ 素イデアルという具体的な対応を結びます。素イデアルが幾何では“分解できない図形”だと分かると、環論の抽象概念に幾何的な意味が宿ります。

既約成分への分解

どんな代数的集合も、有限個の既約成分（分解できない部品）にただ一通りに分かれます。これはザリスキ位相の粗さ（＝ネーター性、環論のヒルベルト基底定理）の帰結です。

定理既約分解

代数的集合 $X$ は、有限個の既約な閉集合 $X=X_1\cup\cdots\cup X_r$ （互いに含まない）に一意に分解される。 $X_i$ を $X$ の既約成分という。

証明の芯は「無限に分解し続けることはできない」——環論のネーター性（イデアルの昇鎖が止まる、ヒルベルト基底定理）が、代数的集合の降鎖を止めます。だから分解は有限で終わり、既約成分に一意に分かれる。図形を「分解できない部品」に分ける、という素朴な操作が、環のネーター性という代数で保証されるのです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

ザリスキ位相は距離の位相と別物。 極端に粗く、ハウスドルフでない。どの空でない開集合も巨大で、二つは必ず交わる。距離のイメージを持ち込まない。
既約 ≠ 連結。 既約なら連結だが逆は偽。 $V(xy)$ は連結（原点でつながる）だが可約（二直線）。既約は「分解できない」、連結は「一つながり」。
既約 ⟺ 素イデアル。 図形の分解不能性が、イデアルの素性に対応。代数幾何の核心の辞書。
既約分解は有限・一意。 ネーター性（ヒルベルト基底定理）が無限分解を止める。

この章のまとめ

ザリスキ位相＝代数的集合 $V(S)$ を閉集合とする位相。距離の位相より極端に粗く、ハウスドルフでない（ $\mathbb A^1$ の閉集合は有限集合か全体）。粗さが代数幾何の対応を保つ。
既約（ $X=X_1\cup X_2$ と真に分けられない）な代数的集合が狭義のアフィン多様体。既約 ⟺ $I(X)$ が素イデアル（環論）——分解不能性が素性に対応。
どんな代数的集合も有限個の既約成分に一意分解（ネーター性＝ヒルベルト基底定理の帰結）。
$V$ と $I$ の対応にはまだ“べき乗の曖昧さ”が残っていた。次章では、それを完全に解消するヒルベルトの零点定理を証明し、辞書を完成させます。

次章では、ヒルベルトの零点定理（弱形・強形）を述べ、根基イデアルを通して V と I の完全な対応を確立します。

第2章 ザリスキ位相