⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第10章 類数の有限性

前章のミンコフスキーの定理を、いよいよ数論に効かせます。定理を定量化すると、「どのイデアル類にも、ノルムが ある限界以下の代表イデアルがある」という命題が出ます。ノルムが有界なイデアルは有限個しかないので、 イデアル類も有限個——イデアル類群は有限群。第8章で残した問い「類群は有限か」に、幾何が決着をつけます。 しかもこの限界（ミンコフスキー限界）は、類数を実際に計算する道具にもなります。

ミンコフスキー限界：小さな代表の存在

まず、各イデアルの中に「ノルムの小さい元」が必ず取れることを、ミンコフスキーの定理から引き出します。

定理 ミンコフスキーの限界

数体 KK（次数 nn、実埋め込み r1r_1 個・複素埋め込み r2r_2 組、判別式 dKd_K）の任意の 00 でないイデアル II は、 0≠α∈I,∣NK/Q(α)∣≤MK⋅N(I)0\neq\alpha\in I,\qquad |N_{K/\mathbb Q}(\alpha)|\le M_K\cdot N(I) を満たす元 α\alpha を含む。ここでミンコフスキー定数は MK=(4π)r2n!nn∣dK∣.M_K=\left(\frac{4}{\pi}\right)^{r_2}\frac{n!}{n^n}\sqrt{|d_K|}.

証明

（骨子）イデアル II をミンコフスキー埋め込みで格子とみると、その共体積は N(I)∣dK∣N(I)\sqrt{|d_K|} に比例。 ∣N(α)∣≤c|N(\alpha)|\le c で定まる原点対称な凸領域（各座標の積が有界な集合）の体積を計算し、ミンコフスキーの定理の 閾値 2ncovol2^n\mathrm{covol} を超えるよう cc を選ぶと、その領域内に非零格子点 α∈I\alpha\in I が取れる。cc の最小値が MK⋅N(I)M_K\cdot N(I)。前章の「体積が閾値を超えれば格子点あり」を、ノルムの評価に翻訳しただけ。

「イデアル II の中に、ノルムが MKN(I)M_K N(I) 以下の元がある」——前章の装置で見た「小さなノルムの元が必ず取れる」の 定量版です。判別式 ∣dK∣\sqrt{|d_K|} が限界に効くのも、それが格子の共体積だったから。この一つの不等式が、以下すべてを 生みます。

核心：イデアル類群は有限

定理 類数の有限性

任意の数体 KK のイデアル類群 Cl(K)\mathrm{Cl}(K) は有限群である。すなわち類数 hK<∞h_K<\infty。さらに、すべての イデアル類は、ノルムが MKM_K 以下のイデアルで代表される。

証明

任意のイデアル類 [I][I] を取る。逆類の代表 JJ（[J]=[I]−1[J]=[I]^{-1}）に対し、ミンコフスキーの限界で 0≠α∈J0\neq\alpha\in J、∣N(α)∣≤MKN(J)|N(\alpha)|\le M_K N(J) を取る。α∈J\alpha\in J より (α)⊆J(\alpha)\subseteq J、すなわち (α)=J⋅I′(\alpha)=J\cdot I' となるイデアル I′I' があり、[I′]=[J]−1=[I][I']=[J]^{-1}=[I]。ノルムの乗法性から N(I′)=∣N(α)∣/N(J)≤MKN(I')=|N(\alpha)|/N(J)\le M_K。ゆえに類 [I][I] はノルム ≤MK\le M_K のイデアル I′I' で代表される。

ノルムが MKM_K 以下のイデアルは有限個しかない（N(I′)=mN(I')=m なら I′⊇(m)I'\supseteq(m) で、OK/(m)\mathcal O_K/(m) は有限、 その部分加群も有限個）。よってイデアル類も有限個、hK<∞h_K<\infty。

証明の心は二段です。(1) ミンコフスキーで、どの類もノルム ≤MK\le M_K の代表を持つ（幾何）。(2) ノルムが 有界なイデアルは有限個（N(I)≤MKN(I)\le M_K の II は、有限個の素イデアルの有限べきの積に限られる）。無限に見えた イデアル類が、MKM_K という有限の壁の中に全部収まる。第8章で「有限に収まるのは自明でない」と言った難所を、 幾何数論が正面から突破しました。

類数を計算する

ミンコフスキー限界は、類数を手計算できるアルゴリズムを与えます。手順はこうです。

注意 類数の計算レシピ

  1. ミンコフスキー定数 MKM_K を求める（r1,r2,dKr_1,r_2,d_K から）。
  2. MKM_K 以下の素数 pp を列挙し、各 pp の素イデアル分解（第7章のデデキント判定法）でノルム ≤MK\le M_K の 素イデアルを全部書き出す。これらが類群を生成する。
  3. 生成元の間の関係（どの積が単項か）を、ノルムの小さい元を探して決める。
  4. 生成元と関係から類群の構造（と類数 hKh_K）を読む。

例：K=Q(−5)K=\mathbb Q(\sqrt{-5})。r1=0,r2=1,dK=−20r_1=0,r_2=1,d_K=-20 で MK=4π⋅2!2220=2π20≈2.85M_K=\frac4\pi\cdot\frac{2!}{2^2}\sqrt{20}=\frac{2}{\pi}\sqrt{20}\approx2.85。 だから MKM_K 以下の素数は 22 だけ調べればよい。(2)=p12(2)=\mathfrak p_1^2（第7章、22 は分岐）で、p1\mathfrak p_1 は ノルム 2≤MK2\le M_K の唯一の非自明素イデアル。p1\mathfrak p_1 は単項でなく（N(α)=2N(\alpha)=2 の元なし）、 p12=(2)\mathfrak p_1^2=(2) 単項ゆえ位数 22。よって Cl(Q(−5))≅Z/2\mathrm{Cl}(\mathbb Q(\sqrt{-5}))\cong\mathbb Z/2、hK=2h_K=2。第8章で 主張した値が、今度は有限個の素数を調べるだけで完全に決定できました。

注意 類数 1 の判定にも使える

MK<2M_K<2 なら、調べるべき素数がなく、すべてのイデアルが単項＝hK=1h_K=1。たとえば Q(−1)\mathbb Q(\sqrt{-1})（ガウス整数、 dK=−4d_K=-4、MK=4π≈1.27<2M_K=\frac4\pi\approx1.27<2）、Q(−3)\mathbb Q(\sqrt{-3}) などは MK<2M_K<2 で即座に PID と分かる。虚二次体で hK=1h_K=1 になるのは d=−1,−2,−3,−7,−11,−19,−43,−67,−163d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163 の九個だけ（ガウスの類数 1 問題、ヘーグナー）。

注意 つまずきポイント

  • 有限性の二本柱：ミンコフスキー（小さい代表の存在）＋ノルム有界なイデアルの有限性。前者が幾何、 後者が代数。両方要る。
  • MKM_K は「調べる範囲」を与える。MKM_K 以下の素数だけで類群が生成される、という有限性が計算を可能にする。 MKM_K は判別式が大きいほど大きく、計算量が増える。
  • 有限だが値は不規則。hKh_K は必ず有限でも、体ごとの値は非常に不規則で深い（虚二次体では ∣d∣|d| とともに 概ね増えるが、実二次体では hK=1h_K=1 が多いか無限かすら未解決）。有限性は易しく、値は難しい。

この章のまとめ

  • ミンコフスキーの限界：任意のイデアル II に、∣N(α)∣≤MKN(I)|N(\alpha)|\le M_K N(I) を満たす 0≠α∈I0\neq\alpha\in I がある。 MK=(4/π)r2n!nn∣dK∣M_K=(4/\pi)^{r_2}\frac{n!}{n^n}\sqrt{|d_K|}。前章の格子点定理の定量版。
  • 類数の有限性：どのイデアル類もノルム ≤MK\le M_K の代表を持ち、そのようなイデアルは有限個。ゆえに Cl(K)\mathrm{Cl}(K) は有限群、hK<∞h_K<\infty。第8章の問いに幾何が決着。
  • 計算法：MKM_K 以下の素数の素イデアル分解を調べれば類群が決まる。Q(−5)\mathbb Q(\sqrt{-5}) は MK≈2.85M_K\approx2.85 で hK=2h_K=2、MK<2M_K<2 の体（ガウス整数など）は即 hK=1h_K=1。

イデアル側（類群）の有限性が片付きました。残るのは単数側——OK\mathcal O_K の可逆元 OK×\mathcal O_K^\times の 構造です。次章はディリクレの単数定理で、単数群がどんな形をしているかを明らかにします。