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第11章 ディリクレの単数定理

イデアル類群（第8–10章）が「OK\mathcal O_K のイデアルの構造」を測ったのに対し、この章は「OK\mathcal O_K の 可逆元の構造」を扱います。Z\mathbb Z の可逆元は ±1\pm1 の二つきりでした。ところが Z[2]\mathbb Z[\sqrt2] では 1+21+\sqrt2 が単数（(1+2)(−1+2)=1(1+\sqrt2)(-1+\sqrt2)=1）で、その冪 (1+2)k(1+\sqrt2)^k が無限個の単数を生む。この違いは どこから来て、単数群 OK×\mathcal O_K^\times はいったいどんな形をしているのか。ディリクレの単数定理が、 その構造を完全に決定します。対数を取って数論を幾何（格子）に翻訳する、美しい手口を見ましょう。

単数とは：ノルムが ±1\pm1 の元

定義 単数

OK\mathcal O_K の可逆元（乗法逆元も OK\mathcal O_K に属する元）を単数といい、その全体 OK×\mathcal O_K^\times を単数群という。

単数の判定はノルムでできます。α\alpha が単数 ⇔\Leftrightarrow NK/Q(α)=±1N_{K/\mathbb Q}(\alpha)=\pm1。実際、 αβ=1\alpha\beta=1 なら N(α)N(β)=1N(\alpha)N(\beta)=1 で、ノルムは整数だから N(α)=±1N(\alpha)=\pm1。逆にノルムが ±1\pm1 なら、 共役の積が ±1\pm1 なので逆元が OK\mathcal O_K に作れる。「大きさ 11 の元」が単数、というわけです。

例で違いを見ます。虚二次体 Q(−5)\mathbb Q(\sqrt{-5}) では N(a+b−5)=a2+5b2=1N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2=1 の解は (±1,0)(\pm1,0) だけ、単数は ±1\pm1 の二つ。ところが実二次体 Q(2)\mathbb Q(\sqrt2) では N(a+b2)=a2−2b2=±1N(a+b\sqrt2)=a^2-2b^2=\pm1 がペル方程式で、 (1,1),(3,2),(7,5),…(1,1),(3,2),(7,5),\dots と無限個の解を持つ。1+21+\sqrt2 とその冪が無限の単数を生みます。有限か無限か—— この差の正体を、対数で暴きます。

発想：対数を取って積を和に、単数を格子に

無限個の単数 (1+2)k(1+\sqrt2)^k は、掛け算では捉えにくい。そこで対数を取って掛け算を足し算に変え、 Rn\mathbb R^n の中の点として並べます。単数 uu の nn 個の共役の絶対値の対数を並べたベクトルを作ります。

定義 対数写像

実埋め込み σ1,…,σr1\sigma_1,\dots,\sigma_{r_1} と複素埋め込みの代表 τ1,…,τr2\tau_1,\dots,\tau_{r_2} を使い、単数 uu を L(u)=(log⁡∣σ1(u)∣,…,log⁡∣σr1(u)∣, 2log⁡∣τ1(u)∣,…,2log⁡∣τr2(u)∣)∈Rr1+r2L(u)=\big(\log|\sigma_1(u)|,\dots,\log|\sigma_{r_1}(u)|,\ 2\log|\tau_1(u)|,\dots,2\log|\tau_{r_2}(u)|\big)\in\mathbb R^{r_1+r_2} に写す対数写像を考える。積は和に写る（L(uv)=L(u)+L(v)L(uv)=L(u)+L(v)、群準同型）。

ここで N(u)=±1N(u)=\pm1（単数）という条件が効きます。ノルムは共役の絶対値の積なので、対数を取ると 「L(u)L(u) の成分の総和が 00」——すなわち L(u)L(u) は Rr1+r2\mathbb R^{r_1+r_2} の中の**超平面 HH（成分和 00）**に乗ります。 超平面の次元は r1+r2−1r_1+r_2-1。単数群の像 L(OK×)L(\mathcal O_K^\times) が、この超平面の中でどう分布するかが問題です。

核心：単数群の構造

定理 ディリクレの単数定理

数体 KK（実埋め込み r1r_1 個、複素埋め込み r2r_2 組）の単数群は OK×≅μK×Zr,r=r1+r2−1\mathcal O_K^\times\cong \mu_K\times\mathbb Z^{r},\qquad r=r_1+r_2-1 と分解する。ここで μK\mu_K は KK に含まれる1 の冪根の成す有限巡回群（捻れ部分）、自由部分の階数は  r=r1+r2−1 .\boxed{\,r=r_1+r_2-1\,}. rr 個の基本単数 ε1,…,εr\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_r があり、すべての単数は ζ ε1a1⋯εrar\zeta\,\varepsilon_1^{a_1}\cdots\varepsilon_r^{a_r} （ζ∈μK\zeta\in\mu_K、ai∈Za_i\in\mathbb Z）と一意に書ける。

証明

（骨子）対数写像 LL の像 L(OK×)L(\mathcal O_K^\times) は超平面 HH（次元 r1+r2−1r_1+r_2-1）の中の格子である。核は ∣σi(u)∣=1|\sigma_i(u)|=1 を全埋め込みで満たす代数的整数、すなわち 11 の冪根 μK\mu_K（有限巡回群、クロネッカー）。像が HH のフルランクの格子（r1+r2−1r_1+r_2-1 次元を張る）であることを、ミンコフスキーの定理（第9章）を使って示す ——「単数がある程度たくさん存在する」ことの幾何的保証。像が階数 rr の格子 ≅Zr\cong\mathbb Z^r で核が μK\mu_K だから、 OK×≅μK×Zr\mathcal O_K^\times\cong\mu_K\times\mathbb Z^r。

階数の公式 r=r1+r2−1r=r_1+r_2-1 を、例で読み解きます。単数の“自由度”は埋め込みの型で決まる。

例 階数の例

  • 虚二次体 Q(d)\mathbb Q(\sqrt d)（d<0d<0）：r1=0,r2=1r_1=0,r_2=1、r=0+1−1=0r=0+1-1=0。自由部分なし＝単数は冪根だけ（有限）。 Q(−5)\mathbb Q(\sqrt{-5}) なら {±1}\{\pm1\}、Q(i)\mathbb Q(i) なら {±1,±i}\{\pm1,\pm i\}。
  • 実二次体 Q(d)\mathbb Q(\sqrt d)（d>0d>0）：r1=2,r2=0r_1=2,r_2=0、r=2+0−1=1r=2+0-1=1。階数 1＝基本単数が一つ、その冪と ±1\pm1 で全単数。Q(2)\mathbb Q(\sqrt2) の基本単数は 1+21+\sqrt2——ペル方程式の無限解の正体はこれ。
  • Q(ζ5)\mathbb Q(\zeta_5)（円分体、n=4n=4）：r1=0,r2=2r_1=0,r_2=2、r=0+2−1=1r=0+2-1=1。

第一の例が「なぜ虚二次体の単数は有限で、実二次体は無限か」に完全に答えます。虚二次体は r=0r=0（自由部分なし） だから有限、実二次体は r=1r=1 だから無限。ペル方程式が無限に解を持つのは、実二次体の単数階数が 11 だから だったのです。数の見かけの神秘（ペルの無限解）が、埋め込みの型という構造で説明されました。

注意 単数基準（レギュレーター）

基本単数の対数ベクトル L(ε1),…,L(εr)L(\varepsilon_1),\dots,L(\varepsilon_r) が超平面 HH 内で張る格子の共体積を 単数基準（レギュレーター）RKR_K という。イデアル類群の hKh_K が「イデアルの破れ」を測るのに対し、 RKR_K は「単数格子の大きさ」を測る。両者は次章の類数公式で、ゼータ関数を通じて一つの式に結ばれる。

注意 つまずきポイント

  • 単数 ⇔\Leftrightarrow ノルム ±1\pm1。「大きさ 1 の元」。イデアルとしては単数はすべて (1)=OK(1)=\mathcal O_K を 生む（自明）——単数は「イデアルとして見えない元」で、だからイデアル類群とは別の情報。
  • 階数は r1+r2−1r_1+r_2-1、−1-1 を忘れない。ノルム条件（成分和 00）で次元が一つ落ちるのが −1-1 の出どころ。
  • 捻れ μK\mu_K は 1 の冪根。有限巡回群。虚二次体では {±1}\{\pm1\}（一般に）、例外的に Q(i)\mathbb Q(i) は {±1,±i}\{\pm1,\pm i\}、Q(−3)\mathbb Q(\sqrt{-3}) は 11 の 66 乗根。

この章のまとめ

  • 単数＝ノルム ±1\pm1 の元。単数群 OK×\mathcal O_K^\times の構造をディリクレの定理が決定する。
  • 対数写像で単数を Rr1+r2\mathbb R^{r_1+r_2} の超平面（成分和 00）内の格子に翻訳。掛け算が足し算に、無限個の 単数が格子点に化ける。
  • ディリクレの単数定理：OK×≅μK×Zr\mathcal O_K^\times\cong\mu_K\times\mathbb Z^{r}、r=r1+r2−1r=r_1+r_2-1。μK\mu_K は 1 の冪根。 像がフルランク格子であることの証明にミンコフスキーが効く。
  • 虚二次体 r=0r=0（単数有限）・実二次体 r=1r=1（ペルの無限解＝基本単数の冪）。単数の無限性は埋め込みの型で 決まる。格子の共体積が単数基準 RKR_K。

イデアル類群（hKh_K）と単数群（RKR_K）——数体の二大不変量が揃いました。最終章は、これらを一つの解析的な 対象デデキントゼータ関数に結び、類数公式・円分体・類体論という数論の大伽藍への扉を開いて総括します。