第7章分岐・惰性・分解

前章で、 $\mathcal O_K$ のイデアルは素イデアルの積に一意分解すると分かりました。では、いちばん基本的なイデアル ——有理素数 $p$ が生成する $(p)$ ——は、 $\mathcal O_K$ でどう分解するのでしょう。 $p$ は $\mathcal O_K$ に上がると、そのまま素のまま（惰性）、複数の素イデアルに割れる（分裂）、あるいは重複して割れる（分岐）——三通りの振る舞いを見せます。この分解の様子を測るのが $e,f,g$ という三つの数で、それらは基本関係 $efg=n$ で縛られています。素数の分解の法則を掴みましょう。

素数 $p$ の分解：三つの数 $e,f,g$

有理素数 $p$ に対し、イデアル $(p)=p\mathcal O_K$ を $\mathcal O_K$ で素イデアル分解します。

定義分岐指数・剰余次数・分解数

$p\mathcal O_K=\mathfrak p_1^{e_1}\mathfrak p_2^{e_2}\cdots\mathfrak p_g^{e_g}$ において、 $e_i$ を素イデアル $\mathfrak p_i$ の分岐指数、 $g$ を分解数（ $p$ の上にある素イデアルの個数）という。また剰余体 $\mathcal O_K/\mathfrak p_i$ は有限体 $\mathbb F_p$ の拡大で、その次数 $f_i=[\mathcal O_K/\mathfrak p_i:\mathbb F_p]$ を剰余次数という。

三つの数はばらばらに動けるわけではなく、体の次数 $n=[K:\mathbb Q]$ によって固く縛られています。

定理基本関係 efg = n

$\sum_{i=1}^g e_i f_i=n.$ とくに $p$ が $K/\mathbb Q$ でガロア的なとき、対称性から全ての $e_i,f_i$ が等しく（ $e_i=e,f_i=f$ ）、 $efg=n.$

この関係は「 $(p)$ を割る素イデアルの“重み” $e_if_i$ の総和が、ちょうど次数 $n$ になる」という保存則です。剰余体の個数（ $g$ ）・各素イデアルの大きさ（ $f$ ）・重複度（ $e$ ）の三者が、 $n$ を分け合う。証明は $\mathcal O_K/p\mathcal O_K$ を $\mathbb F_p$ ベクトル空間として次元を二通りに数える（片や $n$ 、片や $\sum e_if_i$ ）ことで出ます。

三つの典型的な振る舞い

二次体 $K=\mathbb Q(\sqrt d)$ （ $n=2$ ）で、 $efg=2$ の可能なパターンを見ると、素数の分解が三種に尽きることが分かります。ちょうど $2=1\cdot1\cdot2=1\cdot2\cdot1=2\cdot1\cdot1$ の三通りです。

定義分裂・惰性・分岐

分裂（ $g=2,e=f=1$ ）： $p\mathcal O_K=\mathfrak p_1\mathfrak p_2$ 。異なる二つの素イデアルに割れる。
惰性（ $g=1,f=2,e=1$ ）： $p\mathcal O_K=\mathfrak p$ 。 $p$ は $\mathcal O_K$ でも素のまま（分解しない）。
分岐（ $g=1,e=2,f=1$ ）： $p\mathcal O_K=\mathfrak p^2$ 。一つの素イデアルの二乗、重複して割れる。

第4章の $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ で $(2)=\mathfrak p_1^2$ は $2$ の分岐、 $(3)=\mathfrak p_2\mathfrak p_3$ は $3$ の分裂でした。分岐だけが $e>1$ （重複）を持つ特別な現象で、後で見るように有限個の素数にしか起こりません。

分解の判定：多項式の $\bmod\,p$ 分解と一致する

どの素数がどう振る舞うかは、驚くほど具体的に判定できます。鍵は「素イデアル分解が、生成元の最小多項式の $\bmod\,p$ 分解を真似る」という定理です。

定理デデキントの判定法

$\mathcal O_K=\mathbb Z[\alpha]$ で $\alpha$ の最小多項式を $m(x)$ とする。 $p\nmid[\mathcal O_K:\mathbb Z[\alpha]]$ なる素数 $p$ について、 $m(x)$ を $\mathbb F_p$ 上で既約分解して $\overline{m}(x)=\prod_i \overline{g_i}(x)^{e_i}$ となるなら、 $p\mathcal O_K=\prod_i\mathfrak p_i^{e_i},\qquad \mathfrak p_i=(p,\,g_i(\alpha)),\quad f_i=\deg g_i.$ 「多項式が $\bmod\,p$ でどう割れるか」が「素数が $\mathcal O_K$ でどう分解するか」をそのまま写す。

たとえば $K=\mathbb Q(i)$ 、 $m(x)=x^2+1$ 。 $p=5$ では $x^2+1\equiv(x-2)(x+2)\pmod5$ と分裂 → $5$ は分裂（ $5=(2+i)(2-i)$ ）。 $p=3$ では $x^2+1$ が $\mathbb F_3$ で既約 → $3$ は惰性。 $p=2$ では $x^2+1\equiv(x+1)^2\pmod2$ と重根 → $2$ は分岐（ $(2)=(1+i)^2$ ）。二次体の分解は、結局 $d$ が $p$ を法とする平方剰余かどうか（ガロア理論・平方剰余の相互法則）で決まります。素数の分解法則は、平方剰余の言葉で書ける——ここで数論の二大テーマが合流します。

分岐と判別式：どこで重複が起きるか

三つの振る舞いのうち、分岐（ $e>1$ ）は特別です。それがどの素数で起こるかを、第3章の判別式が完全に言い当てます。

定理分岐する素数は判別式を割る

素数 $p$ が $K$ で分岐する（ある $e_i\ge2$ ） $\Leftrightarrow$ $p\mid d_K$ 。したがって分岐する素数は 有限個（ $d_K$ の素因数だけ）。

第3章で「判別式は分岐の在り処を教える地図」と予告した通りです。分岐は「最小多項式が $\bmod\,p$ で重根を持つ」＝「判別式が $p$ で消える」現象で、判別式 $d_K$ を割る有限個の素数でしか起こらない。 $\mathbb Q(\sqrt{-5})$ なら $d_K=-20=-2^2\cdot5$ で、分岐するのは $2$ と $5$ だけ（実際 $(2)=\mathfrak p_1^2$ 、 $(5)=(\sqrt{-5})^2$ ）。ほとんどの素数は分裂か惰性で、分岐という“ほころび”は判別式が押さえる有限個に限られます。

注意つまずきポイント

$e,f,g$ の役割を混同しない。 $e$ ＝重複度（分岐指数）、 $f$ ＝剰余体の拡大次数（素イデアルの“大きさ”）、 $g$ ＝素イデアルの個数。 $\sum e_if_i=n$ で縛られる。
デデキントの判定法には条件（ $p\nmid[\mathcal O_K:\mathbb Z[\alpha]]$ ）。 $\mathbb Z[\alpha]$ が整数環と指数を持つ場合、その指数を割る素数では判定法が使えず、別扱いが要る。
分岐は有限個・例外的。 $p\mid d_K$ のときだけ。無限にある素数のほとんどは分裂／惰性で、分岐は判別式が管理する“特異点”のようなもの。この有限性が後の解析（第12章のゼータ）で効く。

この章のまとめ

有理素数 $p$ は $\mathcal O_K$ で $p\mathcal O_K=\prod\mathfrak p_i^{e_i}$ と分解。分岐指数 $e$ ・剰余次数 $f$ ・分解数 $g$ が振る舞いを測り、基本関係 $\sum e_if_i=n$ （ガロアなら $efg=n$ ）で縛られる。
三つの典型：分裂（ $\mathfrak p_1\mathfrak p_2$ ）・惰性（素のまま）・分岐（ $\mathfrak p^2$ 、重複）。
デデキントの判定法：素イデアル分解は最小多項式の $\bmod\,p$ 既約分解を写す。二次体では平方剰余で決まる。
分岐する素数は判別式 $d_K$ を割る有限個だけ。判別式が分岐（ほころび）の在り処を完全に管理する。

ここまでで「イデアルがどう分解するか」は尽くしました。次章からは視点を変え、「そもそも一意分解がどれだけ壊れているか」を測る量——イデアル類群——に進みます。 $\mathcal O_K$ が PID からどれだけ遠いかの指標です。