第6章イデアルの素イデアル分解

前章で $\mathcal O_K$ がデデキント環だと分かりました。いよいよ救済の本体です。デデキント環では、数の一意分解は壊れていても、イデアルの素イデアル分解は完全に一意に成り立つ。第4章で二通りに割れた $6$ が、イデアルの世界では同じ素イデアル分解に収束する——失われた秩序が一段上で蘇る瞬間を、厳密に組み立てます。

主定理：イデアルは素イデアルの積に一意分解

定理デデキント環の素イデアル分解

デデキント環 $R$ （とくに整数環 $\mathcal O_K$ ）では、 $0$ でも $R$ 全体でもないすべてのイデアル $I$ が、素イデアルの積に順序を除いてただ一通りに分解する： $I=\mathfrak p_1^{e_1}\mathfrak p_2^{e_2}\cdots\mathfrak p_g^{e_g}\qquad(\mathfrak p_i\text{ は相異なる素イデアル},\ e_i\ge1).$ 「数」の素因数分解の一意性が、「イデアル」のレベルで完全に回復する。

$\mathbb Z$ の算術の基本定理（ $n=p_1^{e_1}\cdots p_g^{e_g}$ ）と見た目がそっくりです。違いは、分解の主役が「数」ではなく「イデアル」であること。 $\mathbb Z$ ではイデアル $(n)$ と数 $n$ が一対一だったので両者は一致しましたが、一般の $\mathcal O_K$ ではイデアルの方が細かく割れる。この「細かさ」が、数で壊れた一意性を救うゆとりを生みます。

鍵：分数イデアルが群をなす

一意分解の証明の心臓は、「イデアルの割り算」を可能にすることです。そのために、イデアルを少し拡張した 分数イデアルを導入します。

定義分数イデアル

$K$ の $R$ 部分加群 $M$ で、ある $0\neq d\in R$ について $dM\subseteq R$ （分母を払えば普通のイデアル）となるものを分数イデアルという。 $\mathfrak p^{-1}=\{x\in K:x\mathfrak p\subseteq R\}$ のように「逆数」も作れる。

定理分数イデアルは群をなす

デデキント環 $R$ の $0$ でない分数イデアルの全体は、積についてアーベル群をなす。単位元は $R=(1)$ 、各素イデアル $\mathfrak p$ は逆元 $\mathfrak p^{-1}$ を持ち、 $\mathfrak p\,\mathfrak p^{-1}=R$ 。この群は素イデアルを基底とする 自由アーベル群である。

これが決定的です。「イデアルが群をなす」とは、掛け算だけでなく割り算が自由にできるということ。数の世界で $2$ が“素でない”ため割り算に詰まったのに対し、イデアルの世界では $\mathfrak p^{-1}$ という逆元があるので、どんな素イデアルでも割り込める。素イデアルを基底とする自由アーベル群——これは「各イデアルが素イデアルの指数ベクトル $(e_1,\dots,e_g)$ で一意に表せる」ことそのもので、加群論の自由加群の一意表示が、そのまま素イデアル分解の一意性になります。

証明

（一意性の骨子）分数イデアルの全体が素イデアルを基底とする自由アーベル群だから、各イデアル $I$ は $I=\prod\mathfrak p_i^{e_i}$ と一意に書ける（自由アーベル群の元が基底の指数で一意に決まるのと同じ）。存在は、ネーター性（有限で止まる）で $I$ を極大イデアル＝素イデアルで次々に割っていけることから従う。逆元 $\mathfrak p^{-1}$ が作れる（ $\mathfrak p\,\mathfrak p^{-1}=R$ ）ことに、次元 1 と整閉が効く。

要は「素イデアルの割り算」が自由にできることが、一意分解の全て。前章の三条件は、この割り算群を成立させるためにあったのです。

実演： $6$ の二つの分解が一つに収束する

第4章の $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ に戻り、主定理を目で確かめます。三つの素イデアル $\mathfrak p_1=(2,\,1+\sqrt{-5}),\quad \mathfrak p_2=(3,\,1+\sqrt{-5}),\quad \mathfrak p_3=(3,\,1-\sqrt{-5})$ を導入します（ノルムはそれぞれ $2,3,3$ ）。これらは素イデアルで、単項ではありません（“数”一つでは表せない、イデアルならではの存在）。四つの元のイデアルを分解すると、 $(2)=\mathfrak p_1^2,\quad (3)=\mathfrak p_2\mathfrak p_3,\quad (1+\sqrt{-5})=\mathfrak p_1\mathfrak p_2,\quad (1-\sqrt{-5})=\mathfrak p_1\mathfrak p_3.$ （ノルムで検算： $N(\mathfrak p_1^2)=2^2=4=N(2)$ 、 $N(\mathfrak p_2\mathfrak p_3)=9=N(3)$ 、 $N(\mathfrak p_1\mathfrak p_2)=6=N(1+\sqrt{-5})$ 、すべて整合。）すると $6$ の二つの分解は、 $(6)=(2)(3)=\mathfrak p_1^2\,\mathfrak p_2\,\mathfrak p_3,\qquad (6)=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})=(\mathfrak p_1\mathfrak p_2)(\mathfrak p_1\mathfrak p_3)=\mathfrak p_1^2\,\mathfrak p_2\,\mathfrak p_3.$ どちらも $\mathfrak p_1^2\mathfrak p_2\mathfrak p_3$ という同じ素イデアル分解に収束しました。下の装置で、二つの経路（朱・藍）が同じ素イデアルの積に降りていく様子を確かめてください。「両方を重ねる」で一致が見えます。

数としては $2\cdot3$ と $(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ という別々の道でしたが、素イデアルまで割り下げると一本になる。既約元 $2$ が“素でなかった”のは、実は $\mathfrak p_1^2$ という二つの素イデアルの積を数一つで束ねていた から。イデアルはその束をほどき、真に素なもの（素イデアル）まで分解して、一意性を取り戻したのです。

注意イデアルのノルム

イデアル $I$ のノルムを $N(I)=|\mathcal O_K/I|$ （剰余環の元の個数）で定めると、これは乗法的 $N(IJ)=N(I)N(J)$ で、単項イデアルなら $N((\alpha))=|N_{K/\mathbb Q}(\alpha)|$ （元のノルムの絶対値）に一致する。上の検算はこのイデアルノルムを使った。素イデアル分解の指数は、ノルムを素数のべきに分解して読める。

注意つまずきポイント

素イデアルは単項とは限らない。 $\mathfrak p_1=(2,1+\sqrt{-5})$ は生成元二つ。「数一つ」で表せないイデアルがあることが、数の分解より細かく割れる理由。単項なら数の素元に戻る。
一意なのは「イデアル」の分解。数 $2$ 自身は依然“素でない既約元”。イデアル $(2)$ に上がって初めて $\mathfrak p_1^2$ と一意分解する。主役が数からイデアルへ移ったことを見失わない。
群をなすのがすべての鍵。分数イデアルの逆元 $\mathfrak p^{-1}$ が「素イデアルで割る」ことを可能にし、自由アーベル群の一意表示が素分解の一意性になる。デデキントの三条件はこの群を支えるためにあった。

この章のまとめ

デデキント環では、 $0$ でないイデアルが素イデアルの積に一意分解する（ $\mathbb Z$ の素因数分解の一意性のイデアル版）。
鍵は分数イデアルが群をなすこと。逆元 $\mathfrak p^{-1}$ で素イデアルの割り算が自由にでき、素イデアルを基底とする自由アーベル群の一意表示が、そのまま分解の一意性になる。
$\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ で $(2)=\mathfrak p_1^2,(3)=\mathfrak p_2\mathfrak p_3,(1\pm\sqrt{-5})=\mathfrak p_1\mathfrak p_{2,3}$ 。 $6$ の二つの分解はともに $\mathfrak p_1^2\mathfrak p_2\mathfrak p_3$ に収束——一意性が蘇る。
既約元が“素でない”のは、複数の素イデアルの積を数一つで束ねていたから。イデアルがその束をほどく。

次章は、素数 $p$ （＝イデアル $(p)$ ）が $\mathcal O_K$ に上がったとき、具体的にどう分解するかを調べます。分岐・惰性・分解という三つの振る舞いと、それを支配する基本関係 $efg=n$ 、そして判別式との結びつきを見ます。