第1章変分問題とは

微分積分学では「関数 $f(x)$ を最小にする数 $x$ 」を探しました。 $f'(x)=0$ を解けばよい——これが最小化の基本でした。ところが世の中には、探すものが数ではなく関数（形）そのものであるような最小化問題があります。2点を最速で結ぶ滑り台の形、いちばん面積の小さい膜の形、いちばん短い道。この章では、そうした問題がどんなもので、なぜ普通の微分では歯が立たないのか、そして変分法がどんな発想でそこに切り込むのかを掴みます。

つかみ：最短の道は本当に「あたりまえ」か

2点を結ぶいちばん短い線は直線——これは誰でも知っています。でも問いを少しひねると、途端に直感が効かなくなる。

重力の下で、ビーズが最も速く滑り降りる曲線は？（最短の直線が最速だと思いきや、違います。）
針金の輪に張った石けん膜が作る、面積最小の曲面は？
地球儀の上で、2 都市を結ぶ最短経路は？（平面の直線とは限りません。）

どれも「たくさんの候補の形の中から、ある量を最小（最大）にする一つの形を選べ」という問題です。候補は直線、放物線、円弧、サイクロイド……無限にある形。この中から最良の一つを、当てずっぽうでなく方程式で射止めたい。それが変分法の目標です。

汎関数：関数を入れると数が返る箱

まず、扱う対象に名前を付けましょう。上のどの問題も、「形（関数） $y$ を一つ決めると、それに対して一つの数 （長さ・時間・面積）が定まる」という構造をしています。この「関数 $\to$ 数」の対応を汎関数と呼びます。

定義汎関数

関数の集まり（例えば端点を固定した滑らかな曲線 $y\colon[a,b]\to\mathbb R$ の全体）から実数への写像 $J[y]$ を汎関数という。多くの場合、 $y$ とその微分 $y'$ を用いた被積分関数 $L$ で $J[y]=\int_a^b L\big(x,\,y(x),\,y'(x)\big)\,dx$ の形に書ける。 $L$ をラグランジアンという。

具体例で感触を確かめます。いずれも $y(a),y(b)$ を固定した曲線の上で考えます。

曲線の長さ：微小な弧の長さは $ds=\sqrt{1+y'^2}\,dx$ だから $\displaystyle J[y]=\int_a^b\sqrt{1+y'(x)^2}\,dx$ 。ラグランジアンは $L=\sqrt{1+y'^2}$ （ $y$ そのものは含まず $y'$ だけ）。
回転面の面積：曲線 $y$ を $x$ 軸まわりに回すと側面積は $\displaystyle J[y]=\int_a^b 2\pi y\sqrt{1+y'^2}\,dx$ 。 $L=2\pi y\sqrt{1+y'^2}$ （ $y$ と $y'$ の両方を含む）。
降下時間（最速降下線）：速さが $v=\sqrt{2gy}$ なので $\displaystyle J[y]=\int_a^b\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}\,dx$ 。

汎関数は「関数を丸ごと呑み込んで一つの数を吐く箱」。私たちは、この箱の出力を最小にする入力の関数を探しているのです。ここで一つ、用語の橋を架けておきます。普通の関数 $f(x)$ の変数 $x$ は数直線の一点でしたが、汎関数 $J[y]$ の「変数」 $y$ は無限次元の空間の一点（関数全体が動く空間の一点）だと思えます。最小化の舞台が、数直線から関数空間へ引っ越した——これがすべての出発点です。

なぜ普通の微分では解けないのか

「 $f'(x)=0$ を解く」という手が、なぜそのままでは使えないのか。理由は、微分 $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ の「 $x$ を少しずらす（ $x+h$ ）」という操作にあります。 $x$ が数なら $h$ も数で、ずらし方は一通り（大きさだけ）。ところが $J[y]$ の変数 $y$ は関数なので、「 $y$ を少しずらす」は無限に多様です。全体を持ち上げる、一部だけつまむ、波打たせる——ずらす「方向」が無限にある。だから「微分 $=0$ 」を素朴には書けません。

注意つまずきの正体

数の最小化： $x$ をずらす方向は本質的に一つ（ $\pm$ ）。関数の最小化： $y$ をずらす方向（＝どんな形に変形するか）が 無限にある。どの方向に揺らしても値が悪くならない、という条件を全方向について要求しなければならない。「無限個の方向すべてで停留」——これをどう一本の方程式にするかが、次章の主題。

変分法のアイデア：形を少しだけ揺らす

行き詰まりを破る発想は、意外なほど素朴です。「 $y$ を関数のまま揺らすのが難しいなら、揺らし方を一つの数 $\varepsilon$ で表して、いつもの微分に持ち込もう」。

最適だと思われる形 $y$ を用意し、それに揺らしの関数 $\eta(x)$ を $\varepsilon$ 倍して足します。端点は固定したいので、 $\eta(a)=\eta(b)=0$ （端では揺らさない）と約束します。すると変形後の曲線は $y_\varepsilon(x)=y(x)+\varepsilon\,\eta(x).$ これを汎関数に入れると、 $J[y_\varepsilon]$ はただの数 $\varepsilon$ の関数 $\Phi(\varepsilon)=J[y+\varepsilon\eta]$ になります。無限次元の話が、 $\varepsilon$ という一次元に落ちた。もし $y$ が最小の形なら、 $\varepsilon=0$ で $\Phi(\varepsilon)$ は最小のはず——つまり $\Phi'(0)=0$ 。これならいつもの微分で扱えます。

定義第一変分（この時点では気持ち）

汎関数 $J$ の $y$ における、揺らし $\eta$ 方向の第一変分を $\delta J[y;\eta]=\left.\frac{d}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}J[y+\varepsilon\eta]$ で定める。 $y$ が極値（極小・極大・停留形）なら、端点で消えるすべての $\eta$ について $\delta J[y;\eta]=0$ 。

これが変分法の心臓です。「関数を揺らして、 $\varepsilon$ で微分し、 $\varepsilon=0$ で $0$ 」。方向 $\eta$ が無限にあるという困難は残っていますが、各方向については普通の微分に還元できました。次章で、この「すべての $\eta$ について $\delta J=0$ 」という条件を、 $y$ が満たすべき一本の微分方程式に凝縮します。

注意つまずきポイント

汎関数と関数を混同しない。 $L(x,y,y')$ は普通の（多変数）関数、 $J[y]$ が汎関数。角かっこ $[\ ]$ は「関数を丸ごと受け取る」しるし。
揺らし $\eta$ は端点で $0$ 。端点を固定した問題では、変形しても端は動かせない。この条件が後で「境界項が消える」という計算上のご利益を生む（第2章）。端が自由な問題は別扱い（第7章）。
「最小」より広く「停留」。 $\delta J=0$ は極小だけでなく極大・鞍点でも成り立つ停留条件。実際に最小かは、第二変分（第9章）や直接法（第10章）で別に確かめる必要がある。

この章のまとめ

変分問題とは、**数ではなく関数（形）**を動かして、汎関数 $J[y]=\int_a^b L(x,y,y')\,dx$ を最小（最大・停留）にする問題。最短・最速・最小面積はすべてこの形。
汎関数は「関数を呑んで数を吐く箱」。最小化の舞台が数直線から無限次元の関数空間へ移る。
普通の微分が効かないのは、関数の「ずらし方（方向）」が無限にあるから。
突破口は変分：最適な形 $y$ を $y+\varepsilon\eta$ と揺らし、 $\Phi(\varepsilon)=J[y+\varepsilon\eta]$ を $\varepsilon$ で微分。第一変分 $\delta J[y;\eta]=\Phi'(0)$ が、すべての $\eta$ で $0$ になるのが極値の条件。

次章は、この「すべての $\eta$ で $\delta J=0$ 」を、部分積分と変分法の基本補題でオイラー–ラグランジュ方程式という一本の微分方程式にまとめます。無限個の条件が、たった一つの方程式に凝縮される瞬間です。