第2章オイラー–ラグランジュ方程式

前章で、最適な形 $y$ の条件は「端点で消えるすべての揺らし $\eta$ について、第一変分 $\delta J[y;\eta]=\frac{d}{d\varepsilon}\big|_{0}J[y+\varepsilon\eta]=0$ 」だと分かりました。でも「すべての $\eta$ 」は無限個の条件です。これをこのまま扱うのは大変。この章の目標は、この無限個の条件を、 $y$ が満たすべき たった一本の微分方程式に凝縮すること。その方程式が、変分法の心臓部——オイラー–ラグランジュ方程式です。まずは「揺らすと値がどう動くか」を実際に見てみましょう。

まず体感：揺らして、値の谷を探す

下の装置は、両端を固定した曲線を揺らし $\eta(x)=\sin(\pi x)$ で $\varepsilon$ だけ変形し、汎関数 $J$ （長さ、またはエネルギー）の値を右のグラフに描きます。ベースが「直線（極値）」のときと「たるんだ弧（非極値）」のときで、 $\varepsilon=0$ での振る舞いがどう違うかに注目してください。

汎関数ベース曲線揺らし ε ＝ 0.00

直線ベースでは、 $J(\varepsilon)$ は $\varepsilon=0$ を谷とする放物線——どちらに揺らしても値が増える。まさに $\delta J=0$ （傾き $0$ ）。一方たるみベースでは、 $\varepsilon=0$ は谷ではなく坂の途中で、揺らせばまだ値を減らせる。 $\delta J\neq0$ 、これは極値ではない。**「極値 ⟺ どの揺らし方でも第一変分が $0$ 」**を目で確かめられます。では、この条件を計算で書き下しましょう。

第一変分を計算する

$J[y]=\int_a^b L(x,y,y')\,dx$ に $y_\varepsilon=y+\varepsilon\eta$ を入れ、 $\varepsilon$ で微分して $\varepsilon=0$ と置きます。合成関数の微分（連鎖律）で、 $L$ の中の $y$ は $\varepsilon\eta$ だけ、 $y'$ は $\varepsilon\eta'$ だけ動くので、 $\delta J[y;\eta]=\int_a^b\left(\frac{\partial L}{\partial y}\,\eta+\frac{\partial L}{\partial y'}\,\eta'\right)dx.$ ここで $\frac{\partial L}{\partial y}$ と $\frac{\partial L}{\partial y'}$ は、 $L(x,y,y')$ を第2・第3引数で偏微分したもの（ $x$ に沿って $y(x),y'(x)$ を代入した既知の関数）です。問題は、この式に $\eta$ と $\eta'$ の両方が入っていること。「すべての $\eta$ で $0$ 」を読み取るには、 $\eta$ だけの形にそろえたい。ここで部分積分が効きます。

部分積分で $\eta'$ を追い出す

第二項を部分積分します。 $\eta(a)=\eta(b)=0$ （端点で揺らさない）なので、境界項がきれいに消えます。 $\int_a^b\frac{\partial L}{\partial y'}\,\eta'\,dx=\left[\frac{\partial L}{\partial y'}\,\eta\right]_a^b-\int_a^b\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\eta\,dx=-\int_a^b\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\eta\,dx.$ すると第一変分は、 $\eta$ だけをくくり出した形になります。 $\delta J[y;\eta]=\int_a^b\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\eta\,dx.$ 「端点で揺らさない」という約束が、ちょうど境界項を消してこの整理を可能にしました。あとは「これがすべての $\eta$ で $0$ 」の意味を読み取るだけです。

変分法の基本補題：無限個の条件を一本に

補題変分法の基本補題

連続関数 $g(x)$ が、 $\eta(a)=\eta(b)=0$ を満たすすべての滑らかな $\eta$ について $\int_a^b g(x)\eta(x)\,dx=0$ を満たすなら、 $[a,b]$ 上で $g\equiv0$ 。

証明

もし $g(x_0)\neq0$ （たとえば正）なら、連続性より $x_0$ の小さな近傍 $(c,d)\subset(a,b)$ で $g>0$ 。この近傍だけに台を持つ山型の $\eta\ge0$ （ $(c,d)$ で正、外で $0$ 、端点で $0$ ）を選ぶと $\int_a^b g\eta\,dx>0$ となり仮定に反する。よって至るところ $g\equiv0$ 。「あらゆる重みで積分して常に $0$ なら、中身が $0$ 」。

この補題を $g=\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}$ に適用すれば、無限個の条件「すべての $\eta$ で $\delta J=0$ 」が、たった一本の方程式 $g\equiv0$ に凝縮されます。

定理オイラー–ラグランジュ方程式

汎関数 $J[y]=\int_a^b L(x,y,y')\,dx$ の極値（停留形） $y$ は、微分方程式 $\boxed{\ \frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\right)=0\ }$ を満たす。これをオイラー–ラグランジュ方程式（E–L 方程式）という。

無限次元の最小化問題が、一本の（一般に二階の）常微分方程式に化けました。「形を探す」問題が「微分方程式を解く」問題になったのです。 $x,y,y'$ に具体的なラグランジアンを入れて解けば、最適な形が求まります。

使ってみる：最短経路は直線

いちばん簡単な例で確かめます。曲線の長さ $L=\sqrt{1+y'^2}$ は $y$ を含まないので $\frac{\partial L}{\partial y}=0$ 。また $\frac{\partial L}{\partial y'}=\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}$ 。E–L 方程式は $0-\frac{d}{dx}\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=0\ \Longrightarrow\ \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=\text{定数}\ \Longrightarrow\ y'=\text{定数}.$ $y'$ が定数、すなわち $y$ は直線。「2点間の最短経路は直線」が、変分法から導かれました。当たり前の結果ですが、仕組みが正しく働くことの確認になります。次章以降、 $y$ を含む場合・ $y$ を含まない場合の解き方の型を整え、最速降下線のような非自明な形へ進みます。

注意つまずきポイント

$\frac{d}{dx}$ は全微分。 $\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}$ の中で、 $\frac{\partial L}{\partial y'}$ は $x,y(x),y'(x)$ を通して $x$ に依存する。展開すると $\frac{\partial^2 L}{\partial y'\partial x}+\frac{\partial^2 L}{\partial y'\partial y}y'+\frac{\partial^2 L}{\partial y'^2}y''$ となり、一般に $y''$ を含む二階 ODE。偏微分 $\frac{\partial}{\partial y'}$ と混同しない。
E–L は必要条件。 $\delta J=0$ は停留の条件であって、最小である保証ではない。実際に最小かは第二変分・直接法で確かめる（第9・10章）。装置の「たるみベース」が示すように、 $\delta J\neq0$ なら極値ですらない。
基本補題の $\eta$ は「端で $0$ ・滑らか」で十分。それだけの自由度で中身 $g$ を完全に決められる—— 少数の良いテスト関数が、関数全体を復元する。PDE の弱解の試験関数と同じ精神。

この章のまとめ

第一変分は部分積分で $\displaystyle\delta J[y;\eta]=\int_a^b\Big(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}\Big)\eta\,dx$ に整理できる（端点で $\eta=0$ ゆえ境界項が消える）。
変分法の基本補題（あらゆる重みで積分して $0$ なら中身が $0$ ）により、「すべての $\eta$ で $\delta J=0$ 」は一本のオイラー–ラグランジュ方程式 $\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0$ に凝縮。
無限次元の最小化が、一本の常微分方程式を解く問題に化ける。最短経路 $\Rightarrow$ $y'=$ 定数 $\Rightarrow$ 直線。
E–L は必要条件（停留）。最小の保証は別途。

次章は、E–L 方程式が解きやすくなる二つの「近道」——ラグランジアンが $x$ を含まないとき（エネルギー保存＝ベルトラミの公式）と $y$ を含まないとき（運動量保存）——を整えます。物理の保存則が、ここで顔を出します。

第2章 オイラー–ラグランジュ方程式