第11章 直接法II：トネリの定理と凸性

前章で、最小点の存在は「強圧性 ＋ 弱下半連続性」で保証されると分かりました。強圧性は比較的わかりやすい （ラグランジアンを下から二次で押さえればよい）。残る核心は「いつ弱下半連続になるのか」です。この章の 主役はその答え——凸性。ラグランジアンが微分について凸であることが、弱下半連続性の鍵であり、それが トネリの存在定理を完成させます。第2章から積み上げてきた変分法の存在論が、ここで一つの定理に結晶します。

凸性が弱下半連続性を生む

なぜ凸性が効くのか、直感から入ります。弱収束 $y_k\rightharpoonup y$ は「平均としては近づくが、細かい振動は 残りうる」収束です。たとえば $y_k$ の微分 $y_k'$ が激しく振動しながら弱収束するとき、振動のぶんだけ 「エネルギー」が余分にかかる。凸関数 $F$ に対しては、イェンセンの不等式が 「振動させると平均以上に値が増える」$F(\text{平均})\le\overline{F}$ を保証します。つまり凸なラグランジアンでは、 振動する極限で値が下がることはあっても上がることはない——これが下半連続 $J[y]\le\liminf J[y_k]$ の向きです。

証明の心は、凸関数を接線で下から支える（$L(p)\ge L(p_0)+L'(p_0)(p-p_0)$）ことと、弱収束が一次の項 $\int L'(p_0)(y_k'-y')$ を $0$ に潰すことの組み合わせです。凸性の「接線の上に乗る」性質が、弱極限で値を守る。 第5章で長さでなくエネルギー $\int y'^2$ を使ったのも、$y'^2$ が凸で下半連続性が良いからでした。

トネリの存在定理

強圧性（前章）と弱下半連続性（凸性）がそろえば、直接法の基本定理から最小点の存在が出ます。これを変分法の 文脈で述べたのがトネリの定理です。

これで変分法の物語が閉じます。凸性＋強圧性 ⇒ 最小点の存在。第2章では E–L 方程式を「停留の必要条件」として 導きましたが、トネリの定理は逆に「最小点が確かに存在する」ことを保証する。存在が保証されれば、その最小点は （滑らかなら）E–L 方程式を満たすので、方程式論と存在論が噛み合います。ワイエルシュトラスの反例 （前章）が破綻したのは、$L=x^2p^2$ が $x=0$ で強圧性を失う（$\alpha>0$ が取れない）ためでした——トネリの 条件が、まさにその穴を塞いでいます。

多変数では「凸」が「準凸」になる

未知関数が多変数（ベクトル値 $\mathbf u\colon\Omega\subset\mathbb R^n\to\mathbb R^m$）の場合、話は微妙に変わります。 弱下半連続性の正確な条件は、通常の凸性ではなく準凸性（モリーの条件）という、より弱い性質に なります。凸なら準凸ですが、逆は成り立たない。弾性体の理論では、物理的に自然なエネルギーが凸でないのに 準凸で下半連続、という現象が起こり、これが非線形弾性の難しさと面白さの源になっています。

正則性への一瞥

トネリの定理が保証するのは、$H^1$ の中の最小点——せいぜい一階の弱微分を持つだけの、滑らかとは限らない 関数です。これが実は滑らかで、古典的な E–L 方程式を満たすのか？ これはPDE の楕円型正則性と 同じ問いで、答えも同様に「良い条件下では最小点は滑らか」です。ただし、ラグランジアンや次元によっては 最小点が特異点を持つ（滑らかにならない）反例も知られており（ド・ジョルジ、非線形楕円系）、正則性は 変分法と PDE が交差する現代的な最前線です。ヒルベルトの第 20 問題・第 23 問題は、まさにこの存在と正則性を 問うものでした。

この章のまとめ

• 弱下半連続性の鍵は凸性：$L$ が微分 $p$ について凸なら、イェンセン不等式の精神で「振動する極限で値が 上がらない」下半連続 $J[y]\le\liminf J[y_k]$ が成り立つ。
• トネリの存在定理：$L$ が $p$ について凸・強圧的なら、$J$ は $H^1$ で最小点をとる。凸性＋強圧性 ⇒ 存在。 ワイエルシュトラスの反例は強圧性が壊れる場合で、トネリの条件が穴を塞ぐ。
• 多変数・ベクトル値では、正確な条件は凸性でなく準凸性（凸⇒多凸⇒準凸⇒ランク1凸の階層）。非線形弾性の舞台。
• 得た最小点の正則性（滑らかか）は別問題。良条件下では滑らか、特異点を持つ反例もある——PDE との交差点。

最終章は、変分法がどこまで広がるかを俯瞰します。PDE のディリクレ原理との再会、極小曲面、 モース理論による臨界点の数え上げ、最適制御——変分法が現代数学に張りめぐらせた根を辿ります。