第10章直接法I：存在の枠組み

ここまでの流れは「E–L 方程式を立てて解く」でした。でも、これには暗黙の前提があります——最小を達成する形がそもそも存在する、という前提です。もし最小点が存在しなければ、E–L 方程式を解いて得た停留形は何を意味するのか怪しくなる。実際、リーマンが素朴に「下限があるから最小点もある」と考えてワイエルシュトラスに批判された歴史があります（PDE のディリクレ原理で触れた話）。この章では、方程式を経由せず存在そのものを直接証明する「直接法」の枠組みを、変分法の一般論として立てます。

ワイエルシュトラスの反例：最小点は存在しないことがある

「下限があれば最小点もある」が偽であることを、具体例で見ます。汎関数 $J[y]=\int_{-1}^{1}x^2\,y'(x)^2\,dx,\qquad y(-1)=-1,\ y(1)=1$ を考えます。 $J[y]\ge0$ なので下限は $0$ 以上。実際、原点付近で急激に $-1$ から $1$ へ立ち上がる関数列を作ると、 $x^2$ が原点で $0$ になるおかげで $J[y_n]\to0$ にできます。だから下限は $0$ 。ところが $J[y]=0$ を達成するには $y'\equiv0$ （定数）でなければならず、それは端点条件 $y(\pm1)=\pm1$ と両立しません。下限 $0$ は決して達成されない——最小化列は、原点で不連続にジャンプする「関数でないもの」へ逃げてしまうのです。

注意教訓

「下限（infimum）が存在する」ことと「最小点（minimizer）が存在する」ことは別物。最小化列の極限が、考えている関数の空間から逃げ出すことがある。だから存在は自明でなく、証明を要する。E–L 方程式を解く前に、「最小点が在る」ことを別途保証しなければならない。

直接法の発想：極限を取って最小点を作る

停留方程式を解く「間接法」に対し、直接法（トネリの方法）は、最小点を最小化列の極限として直接構成します。有限次元での「有界閉集合上の連続関数は最小値をとる」（ワイエルシュトラスの定理）を、無限次元へ持ち上げる試みです。手順は三段。

注意直接法の三段構え

最小化列を取る： $J[y_k]\to m=\inf J$ となる列 $(y_k)$ を選ぶ（下限の定義から必ず取れる）。
収束する部分列を取り出す： $(y_k)$ から、ある位相で収束する部分列 $y_{k_j}\to y_*$ を得る（コンパクト性）。
極限が最小点だと示す： $J[y_*]\le\liminf J[y_{k_j}]=m$ を示す（下半連続性）。 $y_*\in$ 定義域なら $J[y_*]=m$ 。

問題は 2 と 3 です。無限次元では有界列から収束部分列が取れるとは限らない（単位球がコンパクトでない）。また、たとえ収束しても $J$ が極限でジャンプアップすれば 3 が壊れる。この二つの難所を乗り越える性質——強圧性（列を有界に閉じ込める）と下半連続性（極限で値が跳ね上がらない）——を、次に用意します。

強圧性：最小化列を逃がさない

まず、最小化列がどこかへ発散したり暴れたりしないよう、有界に閉じ込める必要があります。それを保証するのが強圧性です。

定義強圧性

汎関数 $J$ が（あるノルム $\|\cdot\|$ について）強圧的とは、 $\|y\|\to\infty$ ならば $J[y]\to\infty$ であること。同値な言い方： $J[y]\le C$ を満たす $y$ の集合はノルム有界。

強圧性があれば、最小化列 $J[y_k]\to m<\infty$ は上から抑えられているので、 $\|y_k\|$ が有界になります。たとえばラグランジアンが $L\ge\alpha|y'|^2-\beta$ （下から二次で押さえる）なら、 $J[y]\ge\alpha\|y'\|_{L^2}^2-\beta(b-a)$ となり、ポアンカレ不等式と合わせて $H^1$ ノルムで強圧的。これで最小化列は $H^1$ の有界集合に住みます。舞台をソボレフ空間 $H^1$ にとるのがここでの定石です——弱微分と完備性を備えた、極限を取るのにちょうど良い空間だからです。

下半連続性：極限で値が跳ね上がらない

有界列から（弱）収束部分列を取り出せたとして、最後の関門は「 $J[y_*]\le\liminf J[y_{k_j}]$ 」です。これが成り立つ性質を下半連続性といいます。

定義（弱）下半連続性

$J$ が（逐次弱）下半連続とは、 $y_k\rightharpoonup y$ （弱収束）ならば $J[y]\le\liminf_{k\to\infty}J[y_k]$ が成り立つこと。値が極限で「下から」しか動かない（跳ね上がらない）ことを意味する。

なぜ連続性でなく「下半」で十分なのか。最小化に必要なのは $J[y_*]$ が下限 $m$ 以下であること、つまり 不等式 $\le$ の一方向だけ。弱収束では $J[y_k]\to J[y_*]$ （等式）まで言えないことが多いのですが、下半連続（ $\le$ の向き）なら成り立つ場合がある。この非対称性が、無限次元で弱収束しか使えない状況を救います ——PDE のディリクレ原理の直接法で見たのと全く同じ構図です。

いつ下半連続になるかが決定的な問いで、答えは**「ラグランジアンが $y'$ について凸」**——これが次章のトネリの定理の核心になります。ワイエルシュトラスの反例が破綻したのも、実は強圧性が壊れて最小化列が逃げたためでした。

定理直接法の基本定理（枠組み）

反射的バナッハ空間（例： $H^1$ ）上で、汎関数 $J$ が（i）強圧的かつ（ii）弱下半連続ならば、 $J$ は最小点をとる。

証明

最小化列 $(y_k)$ を取る。(i) 強圧性より $\|y_k\|$ は有界。反射性より有界列は弱収束部分列 $y_{k_j}\rightharpoonup y_*$ を持つ（バナッハ–アラオグル）。(ii) 弱下半連続性より $J[y_*]\le\liminf J[y_{k_j}]=m$ 。一方 $y_*$ は定義域の元で $J[y_*]\ge m$ 。ゆえに $J[y_*]=m$ 、 $y_*$ は最小点。

この章のまとめ

下限の存在と最小点の存在は別。ワイエルシュトラスの反例 $\int x^2 y'^2$ は下限 $0$ を達成できない（最小化列が不連続へ逃げる）。存在は証明を要する。
直接法：最小点を最小化列の極限として直接構成する。三段構え＝最小化列 → 収束部分列 → 極限が最小点。
二つの難所を 強圧性（ $\|y\|\to\infty\Rightarrow J\to\infty$ 、列を有界に閉じ込める）と 弱下半連続性（ $y_k\rightharpoonup y\Rightarrow J[y]\le\liminf J[y_k]$ 、極限で跳ね上がらない）で越える。
舞台はソボレフ空間 $H^1$ （弱微分・完備・反射的）。強圧性＋弱下半連続 ⇒ 最小点の存在。

次章は、この枠組みの心臓——「いつ弱下半連続になるか」に答えます。答えは凸性。トネリの存在定理を述べ、 PDE の直接法と完全に合流します。