⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

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第1章 極限を厳密にする

「限りなく近づく」の何が困るのか

数列 1,12,13,14,…1, \frac12, \frac13, \frac14, \dots は 00 に近づく。これは誰でも納得します。 では聞きます。「近づく」って、正確にはどういう意味ですか？

「どんどん 00 に寄っていく」と言いたくなりますが、たとえば 2,2,2,…2, 2, 2, \dots という ずっと 22 のままの数列も、見方によっては「22 にどんどん寄っている」と言えてしまう。 「小さくなっていく」だと 1,12,14,…1, \frac12, \frac14, \dots は説明できても、 −1,12,−13,14,…-1, \frac12, -\frac13, \frac14, \dots のように符号が揺れながら 00 に近づくやつを うまく言えません。

つまり素朴な言い方は、人によって別の意味に取れてしまう。 数学は「誰が読んでも同じ結論になる」ことが命なので、これは致命的です。 そこで先人がひねり出したのが、次の発想の転換でした。

「近づく」を動きの言葉（寄っていく、小さくなる）でなく、 距離の言葉（誤差がどれだけ小さくできるか）に翻訳する。

直感：文句係とのゲーム

こう考えてみてください。あなたは「ana_n は 00 に近づく」と主張したい。 そこへ文句係が現れて、こう言います。

「近づくって言うなら、誤差 0.10.1 以内にしてみせろ」

あなたは「nn が十分大きければ、ほら 0.10.1 以内です」と返す。 すると文句係は「じゃあ 0.0010.001 以内は？」と、どんどん厳しくしてくる。

どんなに小さい誤差を要求されても、『ある番号から先はずっとその誤差以内』と 返せる——そのとき初めて「ana_n は 00 に近づく」と認めよう、というわけです。

ここで「誤差の要求」を ε\varepsilon（イプシロン）、「ある番号」を NN と名づけます。 下のスライダーで ε\varepsilon（文句係の要求）を動かしてみてください。 どんなに小さくしても、それに応じた NN（朱色の線）から先は、点がすべて帯の中に 収まります。これが「近づく」の正体です。

形式：ε-N 論法

さっきのゲームを、そのまま記号にします。

定義 数列の極限（ε-N 論法）

数列 (an)(a_n) が値 α\alpha に収束するとは、次が成り立つこと：

∀ε>0, ∃N∈N, ∀n≥N, ∣an−α∣<ε.\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ |a_n - \alpha| < \varepsilon.

このとき lim⁡n→∞an=α\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha と書く。

記号を日本語に戻すと、「どんな ε>0\varepsilon>0 に対しても（文句係がどんな要求をしても）、 ある番号 NN が存在して、それ以降のすべての nn で誤差 ∣an−α∣|a_n-\alpha| が ε\varepsilon 未満」。 さっきのゲームの一字一句の翻訳になっています。

∣an−α∣|a_n - \alpha| は ana_n と α\alpha の距離です。符号が揺れても絶対値で測るから、 「揺れながら近づく」もちゃんと扱えます。素朴な言い方の弱点が、これで全部消えました。

例 1/n → 0 を定義通りに示す

ε>0\varepsilon>0 を任意にとる。N>1εN > \frac{1}{\varepsilon} となる自然数 NN をとれば （アルキメデスの原理でとれる）、n≥Nn \ge N のとき

∣1n−0∣=1n≤1N<ε.\left|\tfrac{1}{n} - 0\right| = \tfrac{1}{n} \le \tfrac{1}{N} < \varepsilon.

ε\varepsilon は任意だったから、定義より lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty}\frac1n = 0。

証明の型に注目してください。「ε\varepsilon を任意にとる → それに合わせて NN を作る → n≥Nn\ge N で誤差 <ε<\varepsilon を確かめる」。ε\varepsilon-δ\delta 系の証明はすべてこの三段構えです。

関数の極限：ε-δ 論法

数列は「nn を大きくする」でしたが、関数 f(x)f(x) で「xx を aa に近づける」ときも 発想は同じ。ただし今度は「n≥Nn\ge N」の代わりに「xx が aa に十分近い」を δ\delta（デルタ）で測ります。

定義 関数の極限（ε-δ 論法）

lim⁡x→af(x)=L\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = L とは、

∀ε>0, ∃δ>0, ∀x, 0<∣x−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−L∣<ε.\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x,\ 0 < |x-a| < \delta \implies |f(x)-L| < \varepsilon.

読み方は「出力の誤差 ε\varepsilon をどんなに小さく要求されても、 入力側の許容範囲 δ\delta をうまくとれば、aa から δ\delta 以内の xx で 出力が LL の ε\varepsilon 以内に収まる」。0<∣x−a∣0<|x-a| と書くのは、 x=ax=a ちょうどの値は問わない（近づく途中の話をしている）ためです。

定義 連続性

ff が点 aa で連続とは lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)。 展開すると、∀ε>0, ∃δ>0, ∣x−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(a)∣<ε\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ |x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<\varepsilon。

連続とは要するに「入力を少し動かせば、出力も少ししか動かない」。 極限の定義がそのまま連続の定義になっているのがポイントで、 新しく覚えることはありません。

つまずきポイント：否定はどう作るか

「収束する」の証明はできても、「収束しない」ことを示せと言われると急に固まる人が 多い。これは論理の ∀\forall と ∃\exists をひっくり返すだけの機械的作業です。

注意 量化子の否定は「入れ替えて中を否定」

¬(∀x P)≡∃x ¬P\neg(\forall x\, P) \equiv \exists x\, \neg P、¬(∃x P)≡∀x ¬P\neg(\exists x\, P) \equiv \forall x\, \neg P。 外側から順にひっくり返していけばよい。

「α\alpha に収束する」＝ ∀ε>0 ∃N ∀n≥N ∣an−α∣<ε\forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N\ |a_n-\alpha|<\varepsilon を否定すると、∀\forall と ∃\exists が総入れ替えになり、最後の不等号だけ否定されて：

∃ε>0, ∀N, ∃n≥N, ∣an−α∣≥ε.\exists \varepsilon>0,\ \forall N,\ \exists n \ge N,\ |a_n - \alpha| \ge \varepsilon.

日本語だと**「ある ε\varepsilon が存在して、どんなに先に行っても、誤差が ε\varepsilon 以上に なる nn がまた出てくる」**。文句係の側に立った言い方ですね。

例 (-1)ⁿ は収束しない

an=(−1)na_n=(-1)^n が α\alpha に収束すると仮定する。ε=1\varepsilon=1 をとると、隣り合う項の差は ∣an+1−an∣=2|a_{n+1}-a_n|=2 なので、∣an−α∣<1|a_n-\alpha|<1 かつ ∣an+1−α∣<1|a_{n+1}-\alpha|<1 は三角不等式 2=∣an+1−an∣≤∣an+1−α∣+∣an−α∣<22=|a_{n+1}-a_n|\le |a_{n+1}-\alpha|+|a_n-\alpha|<2 に反する。よってどんな α\alpha にも 収束しない。

この章のまとめ

  • 「限りなく近づく」の曖昧さは、距離 ∣an−α∣|a_n-\alpha| を任意の ε\varepsilon より小さくできる、 と言い換えることで消える。
  • 証明はいつも三段構え：ε\varepsilon を任意にとる → NN（or δ\delta）を作る → 誤差 <ε<\varepsilon。
  • 連続とは「入力の小さな変化 → 出力の小さな変化」。極限の定義の言い換えにすぎない。
  • 否定は ∀↔∃\forall\leftrightarrow\exists を入れ替えて中身を否定するだけ。文句係の側に回ると覚える。

次章は、そもそもなぜ実数だと極限がちゃんと存在するのか—— sup⁡\sup や完備性という「実数の連続性」を掘り下げます。