第1章圏とは

中身を見ずに、関係だけで語る

集合と位相では、数学の対象を「点を集めたもの（集合）」から組み立てました。圏論は、ほとんど正反対の発想から出発します。対象の中身（要素）は一切見ない。代わりに、対象どうしを結ぶ“矢印”と、その矢印のつなぎ方（合成）だけで語る。

なぜそんな禁欲的な見方をするのか。理由は、そうするとまったく別の分野に現れる構成が「実は同じ形」だと見抜けるからです。群の準同型、連続写像、線形写像——分野ごとにバラバラに見える「構造を保つ写像」が、「対象と射」という一つの枠に収まる。個々の中身を忘れることで、分野を貫くパターンが浮かび上がるのです。

たとえるなら、地下鉄の路線図。駅の正確な位置（中身）を捨て、「どの駅とどの駅が線でつながるか（関係）」だけを描くと、乗り換えの構造がかえって見やすくなる。圏論は数学の路線図です。

圏論＝対象の中身を捨て、対象を結ぶ射（矢印）と合成だけで数学を語る言語。分野を貫く「同じ形」を見抜く。

圏の定義

定義圏

圏 $\mathcal C$ とは、次のデータからなる。

対象の集まり $\mathrm{Ob}(\mathcal C)$ 。
各対象の対 $A,B$ に対し、 $A$ から $B$ への射（矢印）の集まり $\mathrm{Hom}(A,B)$ 。 $f\in\mathrm{Hom}(A,B)$ を $f:A\to B$ と書く。
各対象 $A$ に恒等射 $\mathrm{id}_A:A\to A$ 。
射の合成： $f:A\to B$ と $g:B\to C$ から $g\circ f:A\to C$ 。

これらが次をみたす。

（結合律） $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ 。
（単位律） $f\circ\mathrm{id}_A=f=\mathrm{id}_B\circ f$ 。

驚くほど少ない約束です。「矢印がつながり（合成）、つなぎ方は結合的で、各対象に“何もしない矢印”（恒等射）がある」。これだけ。対象が何であるか、射が具体的に何をするかは、一切問いません。この空っぽさこそが、あらゆる分野を同じ土俵に載せる力になります。

注意射は「関数」とは限らない

射を「集合の間の写像」とイメージすると入りやすいが、それは一例にすぎない。射は単なる矢印——合成のルールをみたす抽象的な対応。下の順序集合の例では、射は「 $\le$ という関係」そのもの。関数とは限らない“矢印”に慣れるのが、圏論の第一歩。

例——あらゆる数学が圏になる

定義が抽象的なので、具体例で肉付けします。易しい（身近な）ものから、少し意外なものへ。

例圏の例（易→難）

$\mathbf{Set}$ ：対象＝集合、射＝写像。もっとも基本の圏。
$\mathbf{Grp}$ ：対象＝群、射＝群準同型。 $\mathbf{Ring}$ （環）、 $\mathbf{Vect}_k$ （ベクトル空間・線形写像）も同様。
$\mathbf{Top}$ ：対象＝位相空間、射＝連続写像。
順序集合：一つの半順序集合を圏とみなす。対象＝要素、射＝「 $a\le b$ が成り立つとき、ただ一本の矢印 $a\to b$ 」。合成は $\le$ の推移律、恒等射は $a\le a$ 。
モノイド：対象が一つだけの圏。射＝モノイドの元、合成＝モノイドの積、恒等射＝単位元。

最後の二つが効きます。順序集合では射が「関係 $\le$ 」、モノイドでは射が「元」——射は関数でなくてよい。「対象・射・合成」という枠が、群や空間だけでなく、順序やモノイドのような一見別種の構造まで飲み込む。これが圏の普遍性の最初の現れです。

同型——「中身を見ない」立場での“同じ”

中身を見ないなら、「二つの対象が同じ」とは何か。答えは逆向きの矢印で行き来できること。射だけで「同じ」を定義します。

定義同型射・同型

射 $f:A\to B$ が同型射であるとは、 $g\circ f=\mathrm{id}_A$ かつ $f\circ g=\mathrm{id}_B$ をみたす $g:B\to A$ が存在すること。このとき $A\cong B$ （同型）という。 $g$ を $f$ の逆射という。

$\mathbf{Set}$ での同型は全単射、 $\mathbf{Grp}$ では群同型、 $\mathbf{Top}$ では同相——各分野の「同じ」が、すべて「逆射をもつ射」という一つの定義に統一されます。中身に触れずに「同じ」が言える。「行って戻れば元に戻る矢印がある」——それが圏論の“同じ”です。

注意双対性——矢印を全部逆にする

圏 $\mathcal C$ のすべての射の向きを逆にした反対圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ を考えられる（ $f:A\to B$ を $f:B\to A$ とみなす）。すると、圏論のどんな定義・定理にも「矢印を逆にした双子」がある。一方を証明すれば、他方はタダで手に入る（第5章の積と余積がその実例）。双対性は圏論を通じて働く強力な “無料の定理製造機”。射だけで語るからこそ、向きの反転という対称性が生まれる。

つまずきポイント

注意よくある誤解

射は関数とは限らない。 順序集合では $\le$ 、モノイドでは元が射。「矢印」を関数と決めつけない。合成則をみたす抽象的な対応。
対象の中身は使わない。 $\mathbf{Set}$ でも、証明では「要素」でなく「射」で語るのが圏論の作法。要素に頼ると圏論の御利益（分野横断）が消える。
同型は「逆射をもつ射」。 全単射・同相・群同型はすべてこの特別な場合。中身でなく矢印で「同じ」を定義する。
$\mathrm{Hom}(A,B)$ は集合とは限らない。 大きすぎる圏では射の“集まり”が集合にならないこともある（局所小圏という但し書きがつく）。今は気にしなくてよいが、頭の隅に。

この章のまとめ

圏＝対象・射（矢印）・合成からなり、結合律と単位律（恒等射）をみたす。対象の中身を見ず、射と合成だけで語る。
$\mathbf{Set},\mathbf{Grp},\mathbf{Top},\mathbf{Vect}$ から順序集合・モノイドまで、あらゆる構造が圏になる。射は関数とは限らない（順序では $\le$ 、モノイドでは元）。
同型＝逆射をもつ射。各分野の「同じ」（全単射・同相・群同型）を一つに統一。反対圏による双対性が圏論を貫く。
次章では、圏から圏への「構造を保つ写像」——関手を導入し、分野をまたぐ対応（基本群・ホモロジーなど）を圏論の言葉にします。

次章では、圏の間の写像である関手（共変・反変）を定義し、忘却関手・自由関手・基本群などを例に見ます。

第1章 圏とは