第2章関手

圏そのものを写す

前章で、群も空間も順序も「圏」という同じ枠に収まると見ました。すると次に問いたくなります——**圏から圏への “よい写像”**はあるか。ある圏の対象・射を、別の圏の対象・射へ、構造を壊さずに移す対応。それが関手です。

なぜ欲しいのか。数学のいたるところに「ある分野の問題を、別の分野へ翻訳して解く」構図があるからです。位相幾何では、空間（ $\mathbf{Top}$ ）に群（ $\mathbf{Grp}$ ）を対応させ、図形の問題を代数の問題に翻訳しました（基本群・ホモロジー）。この「分野をまたぐ翻訳」の正体が、関手なのです。

関手＝圏から圏への構造を保つ写像。対象を対象へ、射を射へ、合成と恒等射を保つ。分野をまたぐ翻訳の正体。

共変関手

定義関手（共変）

圏 $\mathcal C$ から圏 $\mathcal D$ への関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ とは、

各対象 $A$ に対象 $F(A)$ を、
各射 $f:A\to B$ に射 $F(f):F(A)\to F(B)$ を対応させ、次をみたすもの：

（合成の保存） $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ 。
（恒等射の保存） $F(\mathrm{id}_A)=\mathrm{id}_{F(A)}$ 。

要は「矢印の付き方（合成の構造）ごと移す」。対象だけでなく、対象を結ぶ関係のネットワーク全体を、向きを保ったまま別の圏へ写す。だから条件は「合成を合成へ、恒等を恒等へ」の二つだけです。

例関手の例

忘却関手 $U:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ ：群を「台集合」に、準同型を「ただの写像」に写す。構造を忘れる。 $\mathbf{Ring}\to\mathbf{Set}$ などいたるところにある。
自由関手 $F:\mathbf{Set}\to\mathbf{Grp}$ ：集合 $S$ を $S$ が生成する自由群に写す。忘却の“逆向き”（第8章の随伴）。
基本群 $\pi_1:\mathbf{Top}_*\to\mathbf{Grp}$ ：点付き空間に基本群を、連続写像に誘導準同型を対応させる。図形→代数の翻訳。
べき集合 $\mathcal P:\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$ ：集合 $S$ を $\mathcal P(S)$ に、写像 $f$ を「像をとる」 $\mathcal P(f)$ に。
恒等関手 $\mathrm{id}_{\mathcal C}$ 、対象を一点に潰す定数関手。

反変関手——向きを逆に写す

関手には、射の向きを逆にして写すタイプもあります。「双対をとる」「関数を引き戻す」といった操作は、自然に向きが反転します。

定義反変関手

$F:\mathcal C\to\mathcal D$ が反変関手とは、射 $f:A\to B$ に対し $F(f):F(B)\to F(A)$ （向きが逆）を対応させ、 $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ （合成の順序も逆）をみたすもの。 $\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal D$ の共変関手と同じ。

例反変関手の例

双対ベクトル空間 $V\mapsto V^*=\mathrm{Hom}(V,k)$ ：線形写像 $f:V\to W$ は $f^*:W^*\to V^*$ （引き戻し、向き逆）。線形代数の双対。
関数環 $X\mapsto C(X)$ （ $X$ 上の連続関数）：連続写像 $f:X\to Y$ は $f^*:C(Y)\to C(X)$ （ $g\mapsto g\circ f$ 、引き戻し）。空間と関数環は反変に対応（代数幾何の芽）。
反変 Hom $\mathrm{Hom}(-,C)$ ：後の第6章で主役。

「引き戻し（前に合成する）」は必ず向きが逆になる—— $g\mapsto g\circ f$ は、 $f:X\to Y$ に対し $Y$ 側の関数を $X$ 側へ引き戻すから。共変（押し出し）と反変（引き戻し）の区別は、圏論を読むときの基本の目印です。

関手は「構造」を運ぶ

関手が合成を保つことの、地味だが決定的な帰結。同型を同型へ写す——だから「翻訳先で違えば、翻訳元でも違う」という論法が使えます。これが位相幾何の証明を支えました。

定理関手は同型を保つ

$F:\mathcal C\to\mathcal D$ を関手、 $f:A\to B$ を同型射とすると、 $F(f):F(A)\to F(B)$ も同型射で $F(f)^{-1}=F(f^{-1})$ 。

証明

$f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_A$ に $F$ を当てると、合成と恒等の保存より $F(f^{-1})\circ F(f)=F(\mathrm{id}_A)=\mathrm{id}_{F(A)}$ 。反対側も同様。ゆえに $F(f)$ は同型で逆射は $F(f^{-1})$ 。∎

この単純な事実が強力です。 $A\cong B$ なら $F(A)\cong F(B)$ 。対偶で、 $F(A)\not\cong F(B)$ なら $A\not\cong B$ 。位相幾何で「 $\pi_1(S^1)=\mathbb Z\ne0=\pi_1(\text{点})$ だから円と点は同相でない」と論じたのは、まさにこれ——関手が不変量を運び、翻訳先の違いで翻訳元の違いを証明する。関手は「分野をまたいで情報を保存して運ぶ」道具なのです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

関手は対象だけでなく射も写す。 「 $F(A)$ をどう定めるか」だけでなく「 $F(f)$ をどう定めるか」まで込みで関手。射への作用（関手性）が本体。
共変（向き保存）と反変（向き反転）を区別する。 引き戻し $g\mapsto g\circ f$ は反変。双対・関数環は反変。向きを取り違えると誤り。
関手は同型を保つが、非同型を非同型に写すとは限らない。 $F(A)\cong F(B)$ でも $A\cong B$ とは限らない（情報を潰す関手もある）。使えるのは対偶（翻訳先で違えば元も違う）。
合成の保存が命。 これがあるから同型・可換図式が保たれる。単なる「対象の対応」は関手でない。

この章のまとめ

関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ ＝対象を対象・射を射へ写し、合成と恒等射を保つ。分野をまたぐ翻訳の正体。忘却・自由・基本群・べき集合などが例。
反変関手は射の向きを逆に写す（引き戻し・双対・関数環）。共変（押し出し）と反変（引き戻し）を区別する。
関手は同型を保つ。対偶で「翻訳先が違えば翻訳元も違う」——位相幾何の不変量による証明の仕組み。
次章では、関手どうしを結ぶ射——自然変換を導入し、「自然な対応」とは何か、圏の同値とは何かを定めます。

次章では、関手の間の射である自然変換・自然同型を定義し、圏の同値という「圏レベルの同じ」を導入します。

第2章 関手