⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第12章 導来関手と総まとめ

壊れた完全性を「測る」

前章で、Hom\mathrm{Hom} や ⊗\otimes が短完全系列の完全性を片側で壊すのを見ました。ここで発想を転換します—— 壊れた完全性を嘆くのでなく、その壊れ具合を測る新しい不変量を作る。それが導来関手です。Hom\mathrm{Hom} の 左完全性の破れを測るのが Ext\mathrm{Ext}、⊗\otimes の右完全性の破れを測るのが Tor\mathrm{Tor}。ホモロジー代数で 天下りに定義したこれらが、圏論では「完全性の破れの体系的な測定」として自然に現れます。

導来関手＝関手が壊した完全性を測る不変量。Hom の破れが Ext、テンソルの破れが Tor。破れを情報に変える。

導来関手の作り方

作り方の骨格はこうです。対象 AA を「素直な対象（射影的・入射的）」で近似する分解を作り、関手を当ててから ホモロジー（像と核のずれ）をとる。近似の取り方によらず、結果は同型を除いて一意に定まります。

定義 射影分解と左導来関手

アーベル圏（十分な射影対象をもつ）で、対象 AA の射影分解とは、射影対象 PiP_i による完全系列

⋯→P2→P1→P0→A→0.\cdots\to P_2\to P_1\to P_0\to A\to 0.

右完全関手 FF の左導来関手 LiF(A)L_iF(A) を、AA を落とした複体 F(P∙):⋯→F(P1)→F(P0)→0F(P_\bullet):\cdots\to F(P_1)\to F(P_0)\to0 の 第 ii ホモロジー Hi(F(P∙))H_i(F(P_\bullet)) で定める（取り方によらず一意）。

同様に、左完全関手には入射分解で右導来関手 RiFR^iF を定めます。核心は「L0F=FL_0F=F（あるいは R0F=FR^0F=F）で 00 次は元の関手に戻り、高次 LiF, RiFL_iF,\ R^iF が完全性の破れを段階的に捉える」こと。FF が完全なら高次はすべて 消えます——導来関手が非ゼロであることが、完全性が壊れている証拠なのです。

Ext と Tor

代表的な二つの導来関手が Ext と Tor。前章の物差し（Hom\mathrm{Hom} は左完全、⊗\otimes は右完全）に対応します。

定義 Ext と Tor

RR 加群の圏で、

  • ExtRi(A,B)\mathrm{Ext}^i_R(A,B)＝HomR(−,B)\mathrm{Hom}_R(-,B)（左完全・反変）の右導来関手を AA に当てたもの。
  • ToriR(A,B)\mathrm{Tor}_i^R(A,B)＝−⊗RB-\otimes_R B（右完全）の左導来関手を AA に当てたもの。 Ext0=Hom\mathrm{Ext}^0=\mathrm{Hom}、Tor0=⊗\mathrm{Tor}_0=\otimes で、高次が完全性の破れを測る。

例 Ext・Tor が語ること

  • Tor\mathrm{Tor} はねじれを検出：Tor1Z(Z/m,Z/n)=Z/gcd⁡(m,n)\mathrm{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Z/m,\mathbb Z/n)=\mathbb Z/\gcd(m,n)。前章の Tor1(Z/2,Z/2)=Z/2\mathrm{Tor}_1(\mathbb Z/2,\mathbb Z/2)=\mathbb Z/2 は、あの「×2\times2 が単射でない傷」そのもの。名前どおり 加群のねじれ（torsion）を測る。
  • Ext\mathrm{Ext} は拡大を分類：Ext1(C,A)\mathrm{Ext}^1(C,A) は、0→A→B→C→00\to A\to B\to C\to0 という拡大の同型類全体と一致 （BB が A,CA,C からどう組み上がるかの分類）。Ext1=0\mathrm{Ext}^1=0 なら分裂（直和）しかない。
  • 応用：層のコホモロジー・群のコホモロジー Hn(G,M)=ExtZGn(Z,M)H^n(G,M)=\mathrm{Ext}^n_{\mathbb ZG}(\mathbb Z,M)・代数幾何の 連接層コホモロジーは、みな導来関手。前章の短完全系列 → 長完全系列（⋯→LiF(A)→LiF(B)→LiF(C)→Li−1F(A)→⋯\cdots\to L_iF(A)\to L_iF(B)\to L_iF(C)\to L_{i-1}F(A)\to\cdots、 連結準同型が蛇の胴体）が計算の要。

導来関手は、現代の代数幾何・数論・トポロジーの共通言語です。「関手が完全性を壊す」という一見ネガティブな 現象を、Ext⋅Tor\mathrm{Ext}\cdot\mathrm{Tor}・コホモロジーという豊かな不変量へ転じる——圏論的な視点が、ホモロジー 代数全体を一つの原理（導来）で束ねています。

圏論の全体像

長い旅を振り返ります。一貫していたのは「中身でなく関係（射）で数学を語る」という一つの態度でした。

注意 この分野の地図

  • 基本概念（1〜3章）：対象・射・合成（圏）、圏の間の射（関手）、関手の間の射（自然変換）。三段の抽象化と 圏の同値。
  • 普遍性（4〜7章）：始/終対象・積/余積・極限で「他との唯一の関係」で対象を定義。Hom 関手・表現可能性を経て、 米田の補題——対象は関係の全体で決まる——へ。
  • 随伴（8〜9章）：Hom の自然同型 F⊣GF\dashv G。自由⊣忘却・テンソル⊣Hom を統一し、右随伴は極限・左随伴は 余極限を保存。
  • アーベル圏（10〜12章）：射が足せて核・余核が整合する舞台で、完全系列・完全関手・導来関手（Ext・Tor）。

三つの果実：(1) バラバラの構成が「同じ形」（普遍性・随伴）だと見抜ける、(2) 対象は関係で完全に決まる （米田）、(3) 「壊れ」さえ不変量になる（導来関手）。中身を捨てて関係だけを見る——その禁欲が、かえって 数学全体を貫く視力を与えました。

他分野とのつながり

注意 回収と展望

  • 回収：群論（自由積＝余積）、加群論（テンソル・Hom・完全系列）、 ホモロジー代数（Ext・Tor）、位相幾何（関手による不変量）、 線形代数（双対・ベクトル空間の圏同値）、数理論理学（量化子＝随伴）を横断した。
  • 展望：圏論は代数幾何（層・スキーム・導来圏）、表現論、トポス理論（論理と幾何の統合）、そして 関数型プログラミング（モナド＝随伴から生まれる、型と計算の言語）の共通言語。∞-圏・導来代数幾何など、 現代数学の最前線の足場でもある。

「分野をまたいで同じ形を見つける言語」という出発点（地図）が、米田・随伴・導来関手を経て、現代数学の 背骨にまで届きました。圏論は特定の対象の理論ではなく、数学の語り方そのものを与える——それがこの分野の 比類なさです。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 導来関手は「完全性の破れの測定」。 Ext0=Hom\mathrm{Ext}^0=\mathrm{Hom}、Tor0=⊗\mathrm{Tor}_0=\otimes に戻り、高次が破れを 測る。破れがなければ高次は消える。
  • 分解の取り方によらず一意。 射影/入射分解は無数にあるが、導来関手は同型を除いて一意。だから well-defined。
  • Ext1\mathrm{Ext}^1＝拡大の分類、Tor\mathrm{Tor}＝ねじれ。 抽象的な定義の背後に、具体的な意味（拡大・ねじれ）がある。
  • 圏論は「中身を捨てる」が「情報を捨てる」ではない。 米田が保証するとおり、関係だけで対象は完全に決まる。 抽象化と情報保存は両立する。

この章のまとめ

  • 導来関手：射影/入射分解に関手を当ててホモロジーをとり、完全性の破れを測る。L0F=FL_0F=F（R0F=FR^0F=F）で高次が破れを捉える。分解によらず一意。
  • Ext\mathrm{Ext}（Hom\mathrm{Hom} の右導来、拡大を分類）・Tor\mathrm{Tor}（⊗\otimes の左導来、ねじれを検出）。短完全系列は長完全系列を生む（連結準同型＝蛇の胴体）。
  • 圏論全体は「中身でなく関係で語る」態度で貫かれ、普遍性・米田・随伴・導来関手を柱とする。「同じ形の発見」「対象＝関係の総体」「破れも不変量」が果実。
  • 代数幾何・表現論・トポス理論・関数型プログラミングまで、数学の共通言語として現代数学の背骨をなす。
  • 圏論（全12章）はこれで完結。ここで得た視点は、これまで学んだすべての分野を貫き、これから出会う分野の見通しを与えます。

お疲れさまでした。「中身を見ず、関係だけで数学を語る」旅は、米田の哲学と導来関手、そして現代数学の共通言語まで辿り着きました。