第11章完全系列と完全関手

完全系列——ちょうど噛み合う連鎖

アーベル圏の主役が完全系列です。射の連鎖 $\cdots\to A\to B\to C\to\cdots$ で、各点において「入ってくる射の像」と「出ていく射の核」がぴったり一致するもの。加群論・ホモロジー代数で出会った概念を、いまはアーベル圏（第10章）の言葉で扱います。

完全系列＝各点で「像＝核」。ずれ（ホモロジー）がゼロで、ちょうど噛み合う連鎖。

定義完全系列

アーベル圏の射の列 $A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C$ が $B$ で完全とは、 $\mathrm{im}f=\ker g$ （部分対象として一致）。すべての点で完全な列を完全系列という。とくに

0\to A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\to 0

が完全（短完全系列）とは、 $f$ が単射・ $g$ が全射・ $\mathrm{im}f=\ker g$ 、すなわち $A$ が $B$ の部分対象で $C\cong B/A$ 。

短完全系列 $0\to A\to B\to C\to 0$ は「 $B$ が $A$ を部分にもち、商が $C$ 」という状況の圏論的表現です。「 $A$ と $C$ から $B$ がどう組み上がるか」を測るのがホモロジー代数の中心問題でした。ここで、関手を通したとき完全性がどうなるかを問います。

完全関手・左完全・右完全

アーベル圏の間の加法関手が、短完全系列をどこまで完全に保つか。これが関手の“質”を測る物差しになります。

定義完全性の階層

加法関手 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ （共変）について、短完全系列 $0\to A\to B\to C\to 0$ を移したとき、

左完全： $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ が完全（左端まで保つ）。
右完全： $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$ が完全（右端まで保つ）。
完全： $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$ が完全（両端とも保つ）。

多くの自然な関手は、片側しか保ちません。どちら側を保つかは、第9章の随伴で決まる——左随伴は右完全、右随伴は左完全。第9章の「保存則」がここに直結します。

定理 Hom とテンソルの完全性

$\mathcal A=\mathbf{Mod}_R$ で、

$\mathrm{Hom}(M,-)$ は左完全（右随伴）、 $\mathrm{Hom}(-,N)$ （反変）も左完全。
$-\otimes_R M$ は右完全（左随伴、第9章）。どちらも一般には完全でない——保たれない“端”がある。

例完全性が破れる——ずれが見える

$0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z\to\mathbb Z/2\to0$ （ $\mathbf{Ab}$ の短完全系列）に $-\otimes\mathbb Z/2$ を当てる： $\mathbb Z/2\xrightarrow{\times2=0}\mathbb Z/2\to\mathbb Z/2\to0$ 。右端は完全（右完全）だが、左端で $\times2=0$ が単射でない——完全性が破れる。この「破れ」の大きさ $\ker(\times2)=\mathbb Z/2$ こそ、次章の $\mathrm{Tor}_1(\mathbb Z/2,\mathbb Z/2)=\mathbb Z/2$ 。関手が壊した完全性の“傷”が、新しい不変量を生む。

蛇の補題——完全性を操る基本技

完全系列を扱う最も基本的な道具が蛇の補題です。二つの短完全系列を縦の射でつないだ図式から、核と余核をつなぐ長い完全系列（“蛇”）を引き出します。次章の長完全系列の芽です。

定理蛇の補題

アーベル圏で、行が完全な可換図式

\begin{CD} 0 @>>> A @>>> B @>>> C @>>> 0\\ @. @VaVV @VbVV @VcVV @.\\ 0 @>>> A' @>>> B' @>>> C' @>>> 0 \end{CD}

から、核と余核をつなぐ完全系列

0\to\ker a\to\ker b\to\ker c\xrightarrow{\ \delta\ }\mathrm{coker}\,a\to\mathrm{coker}\,b\to\mathrm{coker}\,c\to0

が得られる（ $\delta$ は連結準同型）。

連結準同型 $\delta:\ker c\to\mathrm{coker}\,a$ が“蛇”の胴体——上段の $\ker c$ から、図式を対角にたどって下段の $\mathrm{coker}\,a$ へ渡る。この $\delta$ が、完全性の破れを次の段へ「繰り越す」役割を果たします。証明は「元を追う」ダイアグラム・チェイシング（アーベル圏でもフレイド–ミッチェルで正当化、第10章）。蛇の補題は、次章の導来関手が生む長完全系列の、最小の原型です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

完全系列は「像＝核」。 「像 ⊆ 核」（合成が $0$ ）だけでは複体にすぎない。一致して初めて完全。ずれ＝ホモロジー。
左完全・右完全は保つ“端”が違う。 左完全は $0\to F(A)\to\cdots$ 、右完全は $\cdots\to F(C)\to0$ 。 $\mathrm{Hom}$ は左、 $\otimes$ は右。随伴の左右と対応。
関手は完全性を壊しうる。 その破れ（傷）が $\mathrm{Ext},\mathrm{Tor}$ （次章）。「壊れる」は欠陥でなく、新しい情報の源。
連結準同型 $\delta$ が本質。 蛇の補題も長完全系列も、 $\delta$ が完全性の破れを繰り越すことで成立する。

この章のまとめ

完全系列＝各点で像＝核。短完全系列 $0\to A\to B\to C\to0$ は「部分対象と商」を表す。
加法関手は完全性を片側しか保たないことが多い： $\mathrm{Hom}$ は左完全（右随伴）、 $\otimes$ は右完全（左随伴）。第9章の随伴と直結。
完全性の破れが新しい不変量を生む（ $\otimes\mathbb Z/2$ の左端の傷＝ $\mathrm{Tor}$ ）。蛇の補題は核・余核をつなぐ完全系列を作る基本技で、連結準同型 $\delta$ が破れを繰り越す。
次章（最終章）では、この「関手が壊した完全性」を測る導来関手（Ext・Tor）を圏論的に定義し、圏論全体を総括します。

次章では、導来関手を導入し、Ext・Tor を「関手が壊した完全性を測る量」として圏論的に定義して、分野全体をまとめます。

第11章 完全系列と完全関手