第6章 群作用

$G$ を自分自身に左からかける作用 $g\cdot x=gx$ を考える。これは準同型 $\lambda:G\to\operatorname{Sym}(G)$ を与える。 $\lambda(g)=\mathrm{id}$ なら $gx=x$（すべての $x$）で $g=e$、ゆえに $\ker\lambda=\{e\}$、$\lambda$ は単射。 第一同型定理（前章）より $G\cong\operatorname{im}\lambda\le\operatorname{Sym}(G)$。∎

$H=\mathrm{Stab}(x)$ とおく。写像 $G/H\to\mathrm{Orb}(x),\ gH\mapsto g\cdot x$ を考える。 well-defined & 単射：$gH=g'H\iff g^{-1}g'\in H\iff g^{-1}g'\cdot x=x\iff g'\cdot x=g\cdot x$（両方向）。 全射：軌道の定義より $g\cdot x$ は全部像に現れる。よって全単射で $|\mathrm{Orb}(x)|=|G/H|=[G:H]$。∎

共役類は $G$ を分割する。1点の共役類（$\{z\},z\in Z(G)$）が $|Z(G)|$ 個、2点以上の共役類が代表 $x_i$ の分。 各共役類の大きさは軌道–安定化群定理より $[G:C_G(x_i)]$ で、$x_i\notin Z(G)$ ゆえ $>1$。全部足すと $|G|$。∎

類等式 $|G|=|Z(G)|+\sum[G:C_G(x_i)]$ で、各 $[G:C_G(x_i)]$ は $1$ より大きく $|G|=p^n$ を割るので $p$ で割れる。 $|G|=p^n$ も $p$ で割れる。ゆえに $|Z(G)|=|G|-\sum[G:C_G(x_i)]$ も $p$ で割れる。$|Z(G)|\ge1$（$e\in Z(G)$）かつ $p\mid|Z(G)|$ より $|Z(G)|\ge p>1$。∎

（マッケイの証明。）集合 $X=\{(a_1,\dots,a_p)\in G^p: a_1a_2\cdots a_p=e\}$ を考える。$a_1,\dots,a_{p-1}$ は自由に選べ、 $a_p=(a_1\cdots a_{p-1})^{-1}$ で決まるので $|X|=|G|^{p-1}$。巡回群 $\mathbb Z_p$ を「巡回シフト」で $X$ に作用させる （$(a_1,\dots,a_p)\mapsto(a_2,\dots,a_p,a_1)$；積が $e$ なら巡回しても $e$）。軌道の大きさは $[\mathbb Z_p:\mathrm{Stab}]$ で $p$ の約数、 つまり $1$ か $p$。軌道の大きさ $1$ の点は $a_1=\dots=a_p=:a$ で $a^p=e$ の点。 $|X|=(\text{大きさ}1\text{の点の数})+p\cdot(\text{大きさ}p\text{の軌道の数})$。$p\mid|G|$ より $p\mid|X|=|G|^{p-1}$、よって 大きさ $1$ の点の数は $p$ で割れる。$(e,\dots,e)$ は明らかに大きさ $1$ の点なので、その数は $\ge1$ かつ $p$ の倍数、 ゆえに $\ge p\ge2$。$(e,\dots,e)$ 以外に $a^p=e,\ a\ne e$ となる $a$ があり、それが位数 $p$ の元。∎