第5章同型定理

「つぶれた分だけ小さくなる」を定理にする

準同型 $\varphi:G\to G'$ は、 $G$ の情報の一部を「つぶし」ます。つぶれる部分が核 $\ker\varphi$ 、残る部分が像 $\operatorname{im}\varphi$ 。線形代数の次元定理が「入力＝つぶれる分＋残る分」を主張したように、群でも **「 $G$ を核でつぶした剰余群 $G/\ker\varphi$ は、像 $\operatorname{im}\varphi$ とぴったり同型」**が成り立ちます。

これが第一同型定理（準同型定理）で、群論で最も使う道具です。「 $G/N$ が○○と同型」を示したいとき、 $G$ から○○への準同型で核が $N$ になるものを一本作ればよい——構造の同定が、写像を一本引くだけの作業になります。この章では第一〜第三同型定理と対応定理を、すべて証明とともに整えます。抽象代数のあらゆる場面（環論・加群論）で同じ定理が繰り返し現れる、普遍的な骨格です。

第一同型定理： $G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi$ 。「核でつぶした群」＝「像」。構造同定の万能ツール。

第一同型定理（準同型定理）

定理第一同型定理

準同型 $\varphi:G\to G'$ に対し、 $\ker\varphi\trianglelefteq G$ であり $G/\ker\varphi\ \cong\ \operatorname{im}\varphi.$ 明示的には $\bar\varphi(g\ker\varphi)=\varphi(g)$ が同型を与える。

証明

$N=\ker\varphi$ とおく（前章より $N\trianglelefteq G$ 、剰余群 $G/N$ が作れる）。写像 $\bar\varphi:G/N\to G',\ \bar\varphi(gN)=\varphi(g)$ を考える。

well-defined： $gN=g'N$ なら $g'=gn\ (n\in N)$ 、 $\varphi(g')=\varphi(g)\varphi(n)=\varphi(g)e'=\varphi(g)$ 。代表元によらない。

準同型： $\bar\varphi(gN\cdot hN)=\bar\varphi(ghN)=\varphi(gh)=\varphi(g)\varphi(h)=\bar\varphi(gN)\bar\varphi(hN)$ 。

単射： $\bar\varphi(gN)=e'$ なら $\varphi(g)=e'$ 、つまり $g\in N$ 、すなわち $gN=N$ （ $G/N$ の単位元）。核が自明ゆえ単射。

像： $\bar\varphi$ の像は $\varphi$ の像に等しく $\operatorname{im}\varphi$ 。よって $\bar\varphi:G/N\to\operatorname{im}\varphi$ は全単射準同型＝同型。∎

証明の各行が前章で仕込んだ事実（核が正規、剰余群が作れる、well-defined 性）を使っています。実用では「 $\varphi$ を作る→核を計算する→第一同型定理」の3手で構造が決まります。

例第一同型定理の使い方

$\det:GL_n(\mathbb R)\to\mathbb R^\times$ は準同型で核が $SL_n(\mathbb R)$ （行列式 $1$ ）。よって $GL_n(\mathbb R)/SL_n(\mathbb R)\cong\mathbb R^\times$ 。
$\varphi:\mathbb Z\to\mathbb Z_n,\ k\mapsto k\bmod n$ は核 $n\mathbb Z$ 、全射。よって $\mathbb Z/n\mathbb Z\cong\mathbb Z_n$ 。
符号写像 $\operatorname{sgn}:S_n\to\{\pm1\}$ （第9章）は核が交代群 $A_n$ 。よって $S_n/A_n\cong\mathbb Z_2$ 、 $[S_n:A_n]=2$ 。

「 $G/N\cong H$ 」を示す標準戦略： $G$ から $H$ への全射準同型で核が $N$ のものを1本作る。以後、多くの場面でこれを使います。

第二・第三同型定理

第一定理を土台に、部分群と剰余群の絡み合いを記述する2つの定理が出ます。

定理第二同型定理（ダイヤモンド）

$H\le G$ 、 $N\trianglelefteq G$ とすると、 $HN$ は部分群、 $N\trianglelefteq HN$ 、 $H\cap N\trianglelefteq H$ であり $H/(H\cap N)\ \cong\ HN/N.$

証明

$HN=\{hn:h\in H,n\in N\}$ が部分群であることは $N$ の正規性から従う。合成 $H\hookrightarrow HN\xrightarrow{\pi} HN/N$ （ $\pi$ は自然な全射）を $\psi$ とする。 $\psi$ は全射（ $hnN=hN=\psi(h)$ ）。核は $\{h\in H:hN=N\}=\{h\in H:h\in N\}=H\cap N$ 。第一同型定理より $H/(H\cap N)\cong HN/N$ 。∎

定理第三同型定理

$N\trianglelefteq G$ 、 $K\trianglelefteq G$ 、 $N\subseteq K$ とすると、 $K/N\trianglelefteq G/N$ であり $(G/N)\big/(K/N)\ \cong\ G/K.$

証明

写像 $G/N\to G/K,\ gN\mapsto gK$ を考える。 $N\subseteq K$ ゆえ well-defined（ $gN=g'N\Rightarrow g^{-1}g'\in N\subseteq K\Rightarrow gK=g'K$ ）、準同型で全射。核は $\{gN:gK=K\}=\{gN:g\in K\}=K/N$ 。第一同型定理より $(G/N)/(K/N)\cong G/K$ 。∎

第三定理は「約分」です： $\dfrac{G/N}{K/N}=\dfrac{G}{K}$ 。剰余を二段階で取っても、一気に取っても同じ。どちらの証明も「適切な準同型を作り、核を見て、第一定理」というワンパターンで回るのが美しいところです。

対応定理

$G/N$ の部分群と、 $G$ の（ $N$ を含む）部分群が完全に対応します。剰余群の中身を、元の群の言葉で読むための辞書です。

定理対応定理（格子同型定理）

$N\trianglelefteq G$ とする。 $N$ を含む $G$ の部分群 $K$ と、 $G/N$ の部分群 $\bar K=K/N$ が包含関係を保って一対一に対応する。さらに $K\trianglelefteq G\iff K/N\trianglelefteq G/N$ 。

証明

自然な全射 $\pi:G\to G/N$ による対応 $K\mapsto\pi(K)=K/N$ と、逆に $\bar K\mapsto\pi^{-1}(\bar K)$ が互いに逆で、包含・正規性を保つことを確かめる（ $\pi$ が全射準同型であることから直接従う）。∎

対応定理のおかげで「 $G/N$ を調べる」ことが「 $N$ を含む $G$ の部分群を調べる」ことに翻訳できます。これはガロア理論の基本定理（中間体と部分群の対応）の群論版の原型であり、第11章の組成列でも効きます。

つまずきポイント

注意よくある誤解

第一同型定理は「作った準同型の核を見る」道具。 $G/N$ の正体を知りたければ、核が $N$ の準同型を探す。逆算の発想が実用の鍵。
第二定理は $N$ が正規、 $H$ は部分群でよい。 $H$ の正規性は不要。 $HN$ が部分群になるのに $N$ の正規性を使う。
第三定理の約分は $N\subseteq K$ が前提。 両方 $G$ で正規かつ入れ子。これが崩れると剰余の剰余は定義できない。

この章のまとめ

第一同型定理 $G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi$ が背骨。「 $G/N\cong H$ 」は「核 $N$ の全射準同型 $G\to H$ を1本作る」で示す。
第二同型定理 $H/(H\cap N)\cong HN/N$ 、第三同型定理 $(G/N)/(K/N)\cong G/K$ （約分）。どちらも「準同型を作り核を見て第一定理」で証明。
対応定理で $G/N$ の部分群が $N$ を含む $G$ の部分群と一対一対応。剰余群を元の群の言葉で読む辞書。ガロア対応・組成列の原型。

前半（群の基本構造）が完成しました。次章から群作用——群を「対象に働きかけるもの」として捉え、軌道と安定化群へ進みます。

第5章 同型定理