第8章 シロー理論

（ヴィーラントの証明。）$X$ を「$G$ の位数 $p^n$ の部分集合（部分群とは限らない）」全体とし、$G$ を左移動 $g\cdot S=gS$ で $X$ に作用させる。$|X|=\binom{p^n m}{p^n}$。この二項係数は $p$ で割り切れない： $\binom{p^n m}{p^n}=\prod_{j=0}^{p^n-1}\frac{p^n m-j}{p^n-j}$ で、$p^n m-j$ と $p^n-j$ に含まれる $p$ の指数は （$0\le j<p^n$ ゆえ）各 $j$ で等しく、約分で $p$ が消える（クンマーの定理）。よって $p\nmid|X|$。

軌道は $X$ を分割し $|X|=\sum|\mathrm{Orb}(S)|$。$p\nmid|X|$ ゆえ、ある軌道 $\mathrm{Orb}(S_0)$ の大きさは $p$ で割れない。 $P=\mathrm{Stab}(S_0)$ とおくと軌道–安定化群定理より $|\mathrm{Orb}(S_0)|=[G:P]=\dfrac{p^n m}{|P|}$ が $p$ で割れないので、 $p^n\mid|P|$、すなわち $|P|\ge p^n$。一方、$P$ は $S_0$ を保つので、$s\in S_0$ を固定すると $Ps\subseteq S_0$、 $|P|=|Ps|\le|S_0|=p^n$。ゆえに $|P|=p^n$——$P$ がシロー $p$ 部分群。∎

$P$ をシロー $p$ 部分群、$Q$ を任意の $p$ 部分群とする。$Q$ を、左剰余類の集合 $G/P$ に左移動で作用させる。 $|G/P|=[G:P]=m$ で $p\nmid m$。軌道の大きさは $[Q:\mathrm{Stab}]$ で $|Q|=p^k$ の約数＝ $p$ べき。$p\nmid|G/P|=\sum(\text{軌道サイズ})$ なので、大きさ $1$ の軌道（不動点）が存在する。それを $gP$ とすると、$QgP=gP$、つまり $g^{-1}Qg\subseteq P$。 $Q$ がシローなら $|Q|=|P|$ で $g^{-1}Qg=P$、すなわち $Q$ と $P$ は共役。一般の $p$ 部分群 $Q$ なら $Q\subseteq gPg^{-1}$（シロー部分群）に含まれる。∎

共役なもの全体がシロー $p$ 部分群の全体（第二定理）。$P\trianglelefteq G\iff gPg^{-1}=P\ (\forall g)\iff$ 共役が $P$ だけ $\iff n_p=1$。∎

シロー $p$ 部分群全体の集合 $\mathrm{Syl}_p(G)$（$|\mathrm{Syl}_p(G)|=n_p$）に $G$ を共役で作用させる。第二定理よりこの作用は 推移的（軌道は1つ）なので、軌道–安定化群定理より $n_p=[G:N_G(P)]$。$P\le N_G(P)$ ゆえ $[G:N_G(P)]$ は $[G:P]=m$ を割る。 よって $n_p\mid m$。

次に、$P$ 自身を $\mathrm{Syl}_p(G)$ に共役で作用させる。$P$ による軌道の大きさは $p$ べき。$Q\in\mathrm{Syl}_p(G)$ が $P$ の不動点（$xQx^{-1}=Q\ \forall x\in P$）$\iff P\subseteq N_G(Q)$。すると $P,Q$ はともに $N_G(Q)$ のシロー $p$ 部分群で、 $N_G(Q)$ 内で共役だが $Q\trianglelefteq N_G(Q)$ なので $P=Q$。ゆえに $P$ の不動点は $P$ ただ一つ。 $n_p=\sum(P\text{-軌道のサイズ})=1+(p\text{で割れる項の和})$、よって $n_p\equiv1\pmod p$。∎