第8章シロー理論

ラグランジュの「逆」を、素数べきについて回復する

第3章のラグランジュの定理は「部分群の位数は $|G|$ を割る」でした。逆——「 $|G|$ を割るどの $d$ にも位数 $d$ の部分群がある」——は一般に偽（ $A_4$ に位数 $6$ の部分群なし）。でも素数べきについては、逆が完全に成り立ちます。これがシローの定理です。

$|G|=p^n m$ （ $p\nmid m$ ）と素因数分解したとき、 $G$ には位数 $p^n$ の部分群（シロー $p$ 部分群）が必ず存在し、それらは互いに共役で、個数まで $\bmod\,p$ で決まる。この3つの定理は、有限群の構造を素数ごとに分解して調べるための最強の道具です。前章の群作用の技術がここで結実し、「与えられた位数の群をすべて決定する」という分類問題が実際に解けるようになります。

$|G|=p^n m$ （ $p\nmid m$ ）のとき、位数 $p^n$ のシロー $p$ 部分群が存在し、すべて共役、個数 $n_p\equiv1\pmod p$ かつ $n_p\mid m$ 。

第一定理：存在

定義シロー p 部分群

$|G|=p^n m$ （ $p$ 素数、 $p\nmid m$ ）とする。位数 $p^n$ （＝ $|G|$ を割る $p$ の最大べき）の部分群をシロー $p$ 部分群という。

定理シローの第一定理

$|G|=p^n m$ （ $p\nmid m$ ）なら、 $G$ はシロー $p$ 部分群（位数 $p^n$ ）をもつ。

証明

（ヴィーラントの証明。） $X$ を「 $G$ の位数 $p^n$ の部分集合（部分群とは限らない）」全体とし、 $G$ を左移動 $g\cdot S=gS$ で $X$ に作用させる。 $|X|=\binom{p^n m}{p^n}$ 。この二項係数は $p$ で割り切れない： $\binom{p^n m}{p^n}=\prod_{j=0}^{p^n-1}\frac{p^n m-j}{p^n-j}$ で、 $p^n m-j$ と $p^n-j$ に含まれる $p$ の指数は（ $0\le j<p^n$ ゆえ）各 $j$ で等しく、約分で $p$ が消える（クンマーの定理）。よって $p\nmid|X|$ 。

軌道は $X$ を分割し $|X|=\sum|\mathrm{Orb}(S)|$ 。 $p\nmid|X|$ ゆえ、ある軌道 $\mathrm{Orb}(S_0)$ の大きさは $p$ で割れない。 $P=\mathrm{Stab}(S_0)$ とおくと軌道–安定化群定理より $|\mathrm{Orb}(S_0)|=[G:P]=\dfrac{p^n m}{|P|}$ が $p$ で割れないので、 $p^n\mid|P|$ 、すなわち $|P|\ge p^n$ 。一方、 $P$ は $S_0$ を保つので、 $s\in S_0$ を固定すると $Ps\subseteq S_0$ 、 $|P|=|Ps|\le|S_0|=p^n$ 。ゆえに $|P|=p^n$ —— $P$ がシロー $p$ 部分群。∎

証明の要は「 $|X|$ が $p$ で割れない」こと。すると軌道分割の中に $p$ で割れない軌道が必ずあり、その安定化群が狙いの位数 $p^n$ をちょうど実現する。軌道サイズの整除で存在をこじ開ける、群作用の真骨頂です。系として、コーシーの定理（第6章）も再導出できます（位数 $p$ のシロー部分群が位数 $p$ の元をもつ）。

第二定理：共役性

定理シローの第二定理

$G$ のすべてのシロー $p$ 部分群は互いに共役（ $P'=gPg^{-1}$ ）。さらに任意の $p$ 部分群は、あるシロー $p$ 部分群に含まれる。

証明

$P$ をシロー $p$ 部分群、 $Q$ を任意の $p$ 部分群とする。 $Q$ を、左剰余類の集合 $G/P$ に左移動で作用させる。 $|G/P|=[G:P]=m$ で $p\nmid m$ 。軌道の大きさは $[Q:\mathrm{Stab}]$ で $|Q|=p^k$ の約数＝ $p$ べき。 $p\nmid|G/P|=\sum(\text{軌道サイズ})$ なので、大きさ $1$ の軌道（不動点）が存在する。それを $gP$ とすると、 $QgP=gP$ 、つまり $g^{-1}Qg\subseteq P$ 。 $Q$ がシローなら $|Q|=|P|$ で $g^{-1}Qg=P$ 、すなわち $Q$ と $P$ は共役。一般の $p$ 部分群 $Q$ なら $Q\subseteq gPg^{-1}$ （シロー部分群）に含まれる。∎

「 $Q$ を $G/P$ に作用させ、 $\bmod\,p$ で不動点を見つける」——第一定理と同じ精神です。共役性の帰結として重要なのは次です。

系正規性の判定

シロー $p$ 部分群 $P$ が正規 $\iff$ シロー $p$ 部分群がただ一つ（ $n_p=1$ ）。

証明

共役なもの全体がシロー $p$ 部分群の全体（第二定理）。 $P\trianglelefteq G\iff gPg^{-1}=P\ (\forall g)\iff$ 共役が $P$ だけ $\iff n_p=1$ 。∎

第三定理：個数

定理シローの第三定理

シロー $p$ 部分群の個数 $n_p$ は $n_p\equiv1\pmod p\qquad\text{かつ}\qquad n_p\mid m\ (=[G:P]).$

証明

シロー $p$ 部分群全体の集合 $\mathrm{Syl}_p(G)$ （ $|\mathrm{Syl}_p(G)|=n_p$ ）に $G$ を共役で作用させる。第二定理よりこの作用は推移的（軌道は1つ）なので、軌道–安定化群定理より $n_p=[G:N_G(P)]$ 。 $P\le N_G(P)$ ゆえ $[G:N_G(P)]$ は $[G:P]=m$ を割る。よって $n_p\mid m$ 。

次に、 $P$ 自身を $\mathrm{Syl}_p(G)$ に共役で作用させる。 $P$ による軌道の大きさは $p$ べき。 $Q\in\mathrm{Syl}_p(G)$ が $P$ の不動点（ $xQx^{-1}=Q\ \forall x\in P$ ） $\iff P\subseteq N_G(Q)$ 。すると $P,Q$ はともに $N_G(Q)$ のシロー $p$ 部分群で、 $N_G(Q)$ 内で共役だが $Q\trianglelefteq N_G(Q)$ なので $P=Q$ 。ゆえに $P$ の不動点は $P$ ただ一つ。 $n_p=\sum(P\text{-軌道のサイズ})=1+(p\text{で割れる項の和})$ 、よって $n_p\equiv1\pmod p$ 。∎

$n_p\equiv1\pmod p$ かつ $n_p\mid m$ ——この2つの条件が $n_p$ の候補を劇的に絞ります。しばしば $n_p=1$ しか残らず、その場合シロー $p$ 部分群は正規（上の系）。これが「群を分解できる」ことの発見につながります。

群の決定への応用

シローの定理は、小さい位数の群をすべて決定するのに使えます。戦略は「 $n_p$ を絞って正規シロー部分群を見つけ、群を半直積（第12章）に分解する」。

例位数 15 の群は巡回群のみ

$|G|=15=3\cdot5$ 。 $n_3\equiv1\pmod3$ かつ $n_3\mid5$ より $n_3\in\{1\}$ （ $5$ の約数で $\equiv1\pmod3$ は $1$ のみ）。 $n_5\equiv1\pmod5$ かつ $n_5\mid3$ より $n_5=1$ 。よってシロー $3$ 部分群 $P$ （位数 $3$ ）もシロー $5$ 部分群 $Q$ （位数 $5$ ）も正規で唯一。 $P\cap Q=\{e\}$ （位数が互いに素）、 $PQ$ は位数 $15=|G|$ なので $G=P\times Q\cong\mathbb Z_3\times\mathbb Z_5\cong\mathbb Z_{15}$ 。 位数 $15$ の群は巡回群 $\mathbb Z_{15}$ ただ一つ。

例位数 pq の群（p<q, p∤q−1）

$|G|=pq$ 、 $p<q$ 素数で $p\nmid q-1$ とする。 $n_q\equiv1\pmod q$ かつ $n_q\mid p$ より $n_q=1$ （ $p<q$ ）。 $n_p\equiv1\pmod p$ かつ $n_p\mid q$ より $n_p\in\{1,q\}$ ； $q\equiv1\pmod p$ でない（ $p\nmid q-1$ ）ので $n_p=1$ 。両シロー部分群が正規で、 $G\cong\mathbb Z_p\times\mathbb Z_q\cong\mathbb Z_{pq}$ （巡回）。（ $p\mid q-1$ のときは非可換な半直積 $\mathbb Z_q\rtimes\mathbb Z_p$ も現れる。位数 $6$ の $S_3$ がその例。）

「位数がこれこれの群を全部挙げよ」という一見手に負えない問題が、 $n_p$ の合同条件を解くパズルに帰着する—— シロー理論の威力です。位数 $p^2$ の群はアーベル、位数 $p^3$ の群の分類など、有限群の分類の基礎工事がここで進みます。

つまずきポイント

注意よくある誤解

シロー部分群は「最大の $p$ 部分群」。 位数 $p^n$ （ $|G|$ を割る $p$ の最大べき）ちょうど。位数 $p^k$ （ $k<n$ ）の部分群も存在するが、それはシローではない。
$n_p=1\iff$ 正規。 個数が1つなら共役が自分だけ＝正規。群を分解する糸口はここ。
第三定理は2条件セットで使う。 $n_p\equiv1\pmod p$ かつ $n_p\mid m$ 。両方で候補を絞ると、多くの場合 $n_p=1$ に追い込める。

この章のまとめ

シロー第一定理： $|G|=p^nm$ （ $p\nmid m$ ）ならシロー $p$ 部分群（位数 $p^n$ ）が存在。証明は部分集合への作用で $p\nmid|X|$ を使う。
第二定理：シロー $p$ 部分群はすべて共役、任意の $p$ 部分群はシローに含まれる。 $n_p=1\iff$ 正規。
第三定理： $n_p\equiv1\pmod p$ かつ $n_p\mid m$ 。この2条件で $n_p$ を絞り、正規シロー部分群→群の分解で小さい位数の群を分類できる（位数 $15,pq$ など）。

次章は、最も基本的で豊かな具体例——対称群と、 $n\ge5$ での交代群の単純性を扱います。

第8章 シロー理論