第9章対称群と交代群の単純性

すべての群の“母体”を、詳しく調べる

ケイリーの定理（第6章）は「どんな群も置換群に埋め込める」と言いました。だから対称群 $S_n$ は、ある意味すべての群を含む母体です。その内部を詳しく調べることは、群論全体を理解することに直結します。

そしてこの章のクライマックスは、 $n\ge5$ で交代群 $A_n$ が単純（自明でない正規部分群をもたない）という定理です。一見地味なこの事実が、数学史上の大問題に決着をつけます——5次以上の一般方程式には、べき根による解の公式が存在しない（アーベル–ルフィニ、ガロア理論）。 $A_5$ の単純性が、 $S_5$ が可解群でないこと（第11章）を通じて、解の公式の不存在を導くのです。抽象代数の最も美しい応用の一つに向けた、決定的な一章です。

$n\ge5$ で交代群 $A_n$ は単純。これが $S_n$ の非可解性を生み、5次方程式に解の公式が無いことの核心になる。

巡回置換・互換・符号

定義巡回置換と互換

$S_n$ の元（置換）は、共通の文字を含まない巡回置換の積に一意に分解できる。長さ2の巡回置換 $(a\,b)$ （ $a,b$ を入れ替え他は固定）を互換という。任意の置換は互換の積で表せる（ $(a_1\,a_2\,\cdots\,a_k)=(a_1\,a_k)(a_1\,a_{k-1})\cdots(a_1\,a_2)$ ）。

互換の積での表し方は一通りではありませんが、使う互換の個数の偶奇は不変です。これが符号を定めます。

定理符号の well-defined 性

置換 $\sigma$ を互換の積で表すとき、互換の個数の偶奇は表し方によらない。偶数個で表せる置換を偶置換、奇数個を奇置換とし、符号 $\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{(\text{互換の個数})}\in\{\pm1\}$ が定まる。 $\operatorname{sgn}:S_n\to\{\pm1\}$ は準同型。

証明

多項式 $\Delta=\prod_{i<j}(x_i-x_j)$ を考え、 $\sigma$ を変数の添字に作用させる： $\sigma\cdot\Delta=\prod_{i<j}(x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(j)})=\pm\Delta$ 。この符号 $\epsilon(\sigma)\in\{\pm1\}$ は $\sigma$ から一意に定まり（ $\Delta$ の各因子が符号込みで並べ替わる）、 $\epsilon(\sigma\tau)=\epsilon(\sigma)\epsilon(\tau)$ （準同型）。互換 $(a\,b)$ は $\Delta$ の符号をちょうど1回反転させ $\epsilon=-1$ 。よって $\sigma$ が $k$ 個の互換の積なら $\epsilon(\sigma)=(-1)^k$ 。左辺は表し方によらないので、 $(-1)^k$ すなわち偶奇も表し方によらない。 $\operatorname{sgn}=\epsilon$ 。∎

多項式 $\Delta$ （線形代数の行列式にも現れる交代式）を使うことで、偶奇の不変性という組合せ的にはやや面倒な事実が、一発で証明できます。符号が準同型なので、その核が次の交代群です。

交代群

定義交代群

偶置換全体 $A_n=\ker(\operatorname{sgn})$ を交代群という。 $\operatorname{sgn}:S_n\to\{\pm1\}$ は $n\ge2$ で全射なので、第一同型定理より $S_n/A_n\cong\mathbb Z_2$ 、ゆえに $A_n\trianglelefteq S_n$ かつ $|A_n|=\dfrac{n!}{2}$ 。

$A_n$ は指数 $2$ ゆえ正規（第4章）。 $A_n$ は3-巡回置換 $(a\,b\,c)$ で生成されます（ $n\ge3$ ）。実際、偶置換は偶数個の互換の積で、隣り合う2つの互換の積は $3$ -巡回置換の積に書き換えられる： $(a\,b)(a\,c)=(a\,c\,b)$ 、 $(a\,b)(c\,d)=(a\,c\,b)(a\,c\,d)$ 。この事実が単純性の証明で効きます。

An の単純性（n ≥ 5）

定理交代群の単純性

$n\ge5$ のとき、 $A_n$ は単純（正規部分群は $\{e\}$ と $A_n$ のみ）。

まず $n=5$ を、共役類のサイズを数えて証明します（前章までの道具が総動員されます）。

補題 A₅ の共役類

$|A_5|=60$ 。その元は型ごとに：恒等 $e$ （ $1$ 個）、 $3$ -巡回置換 $(abc)$ （ $20$ 個）、 $(2,2)$ 型 $(ab)(cd)$ （ $15$ 個）、 $5$ -巡回置換（ $24$ 個、 $A_5$ 内では $2$ つの共役類 $12+12$ に分かれる）。共役類のサイズは $1,20,15,12,12$ 。

証明

（単純性、 $n=5$ 。） $N\trianglelefteq A_5$ 、 $N\ne\{e\}$ とする。 $N$ は共役類の合併で、 $e$ を含み、 $|N|$ は $|A_5|=60$ を割る（ラグランジュ）。可能な $|N|$ は $1,20,15,12,12$ の一部を $1$ （恒等）と合わせて足した数で、かつ $60$ の約数。 $1$ に $\{20,15,12,12\}$ の部分和を足して $60$ の約数になるのは、 $1$ 単独（ $|N|=1$ ）か全部足した $1+20+15+12+12=60$ （ $|N|=60$ ）のみ（例： $1+15=16\nmid60$ 、 $1+20=21\nmid60$ 、 $1+12=13\nmid60$ 、 $1+12+12=25\nmid60$ 、 $1+15+20=36\nmid60$ 、…どれも $60$ を割らない）。ゆえに $N=\{e\}$ か $N=A_5$ 。 $A_5$ は単純。∎

証明は純粋な割り算パズルです。共役類のサイズ（ $1,20,15,12,12$ ）を、恒等の $1$ を必ず含めつつ足して $60$ の約数を作ろうとすると、自明な $1$ と全体 $60$ しか作れない——だから正規部分群は自明なものだけ。一般の $n\ge5$ は、 $A_5$ の単純性を足がかりに帰納法で示せます。

証明

（ $n\ge6$ への帰納、要点。） $N\trianglelefteq A_n$ 、 $N\ne\{e\}$ とする。 $N$ が非自明な $\sigma$ を含むとき、うまく共役を取って $\sigma$ が $3$ -巡回置換を1つ含むよう変形でき、 $N$ は少なくとも1つの $3$ -巡回置換をもつことが示せる。 $A_n$ の $3$ -巡回置換はすべて互いに共役（ $n\ge5$ ）なので、 $N$ は全ての $3$ -巡回置換を含み、それらが $A_n$ を生成するから $N=A_n$ 。（各 $n$ 点のうち $5$ 点への制限で $A_5$ の単純性に帰着する議論を組み合わせる。）∎

単純性が意味すること

系 An は n≥5 で非可解、S₅ も非可解

$n\ge5$ で $A_n$ は非可換な単純群。ゆえに $A_n$ は可解群でなく（第11章）、 $S_n$ も非可解。特に $S_5$ は可解でない。

これが決定打です。ガロア理論（ガロア理論）は「方程式がべき根で解ける $\iff$ そのガロア群が可解群」と教えます。一般 $5$ 次方程式のガロア群は $S_5$ 。 $S_5$ が可解でない以上、一般 $5$ 次方程式にはべき根による解の公式が存在しない（アーベル–ルフィニの定理）。 $A_5$ が単純である——たった $60$ 個の偶置換の世界の性質——が、 $300$ 年探された解の公式が原理的に存在しないことの、数学的な理由なのです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

符号は互換の個数の偶奇（表し方によらない）。 互換の積の表し方自体は一意でないが、偶奇は不変。 $\Delta$ を使う証明が明快。
$A_n$ が単純なのは $n\ge5$ 。 $A_3\cong\mathbb Z_3$ は単純（素数位数）だが可換。 $A_4$ は単純でない（位数 $4$ の正規部分群 $V_4$ をもつ）。 $n\ge5$ で初めて「非可換単純」。
単純性と非可解性は別概念だが繋がる。 非可換単純群は可解でない（組成因子に自分自身が現れる、第11章）。 $A_5$ が最小の非可換単純群。

この章のまとめ

置換は巡回置換・互換の積に分解でき、符号 $\operatorname{sgn}$ （互換の個数の偶奇、 $\Delta$ で well-defined）は準同型。その核が交代群 $A_n$ （指数 $2$ で正規、 $3$ -巡回置換で生成）。
$n\ge5$ で $A_n$ は単純。 $A_5$ は共役類サイズ $1,20,15,12,12$ の割り算パズルで単純性が出る（最小の非可換単純群）。
帰結： $A_n,\ S_n$ （ $n\ge5$ ）は非可解。 $S_5$ の非可解性が、ガロア理論を通じて5次方程式の解の公式の不存在を導く。

具体群を離れ、次章は有限アーベル群を完全に分類する——アーベル群の基本定理へ進みます。

第9章 対称群と交代群の単純性