⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第11章 ルート系とディンキン図形

前章で、半単純リー環がルート系という対称的なベクトル配置に符号化されると分かりました。でもルートは全部で 何本もあり（G2G_2 なら 1212 本）、そのままでは扱いにくい。この章では、ルート系を単純ルートという少数の 「生成元」に凝縮します。驚くべきことに、単純ルートの間の角度は 90°/120°/135°/150°90°/120°/135°/150° の四通りしかない。 この極端な制約をカルタン行列・ディンキン図形という組み合わせデータにまとめると、半単純リー環の分類が 純粋な組み合わせ問題に化けるのです。

単純ルート：ルート系の生成元

ルート系には、全体を生成する少数の「基本ベクトル」が選べます。正負に分け、正のルートの中で「これ以上分解 できない」ものを取るのです。

定義 正ルートと単純ルート

ルート系 Φ\Phi に対し、適当な向きで Φ\Phi を正ルート Φ+\Phi^+ と負ルート −Φ+-\Phi^+ に二分する。 正ルートのうち、二つの正ルートの和では書けないものを単純ルートという。単純ルートの個数は g\mathfrak g の階数に等しく、すべてのルートは単純ルートの（すべて同符号の）整数結合で書ける。

階数 22 なら単純ルートは二つ α1,α2\alpha_1,\alpha_2。前章の装置で「朱で示された二本」がそれです。他のすべての ルートは、この二本からワイル反射（各ルートに垂直な鏡での折り返し）を繰り返して生成されました。だから リー環の全構造は、たった数本の単純ルートとその相互関係に凝縮される。その相互関係を測るのがカルタン整数です。

角度は四通りしかない

単純ルートの間に許される角度は、驚くほど限られます。ここが分類の心臓です。

定理 単純ルートの角度の制約

二つの単純ルート α,β\alpha,\beta に対し、カルタン整数 ⟨α,β⟩=2(α,β)(β,β)∈Z\langle\alpha,\beta\rangle=\frac{2(\alpha,\beta)}{(\beta,\beta)}\in\mathbb Z は整数で、積 ⟨α,β⟩⟨β,α⟩=4cos⁡2θ∈{0,1,2,3}\langle\alpha,\beta\rangle\langle\beta,\alpha\rangle=4\cos^2\theta\in\{0,1,2,3\} しか取れない （θ\theta は二本の間の角度）。したがって角度 θ\theta は 90° (積0),120° (積1),135° (積2),150° (積3)90°\ (\text{積}0),\quad 120°\ (\text{積}1),\quad 135°\ (\text{積}2),\quad 150°\ (\text{積}3) の四通りだけ。

なぜ四通りか。カルタン整数が整数（sl₂ の梯子から、第10章）なので、その積 4cos⁡2θ4\cos^2\theta も整数。一方 0≤cos⁡2θ≤10\le\cos^2\theta\le1 かつ二本が独立なら 4cos⁡2θ<44\cos^2\theta<4 なので、積は 0,1,2,30,1,2,3 しかありえない——これだけの 理由で、リー環の可能な形が劇的に絞られます。積が大きいほど二本の長さの比も開き（1,1,2,31,1,\sqrt2,\sqrt3）、 120°120° は等長、135°135° は長短比 2\sqrt2、150°150° は 3\sqrt3。下の装置で四つの場合を切り替え、角度と積 （＝結合本数）の対応を確かめてください。

カルタン行列とディンキン図形

四通りの角度を、コンパクトな組み合わせデータに記録します。それがカルタン行列とディンキン図形です。

定義 カルタン行列・ディンキン図形

単純ルート α1,…,αℓ\alpha_1,\dots,\alpha_\ell のカルタン整数を並べた行列 A=(⟨αi,αj⟩)A=(\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle) を カルタン行列という（対角は 22）。これを図に描いたのがディンキン図形：各単純ルートを 点、二点の間を積 ⟨αi,αj⟩⟨αj,αi⟩∈{0,1,2,3}\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle\langle\alpha_j,\alpha_i\rangle\in\{0,1,2,3\} 本の線で 結び、長さが違えば長い方から短い方へ矢印を付ける。

ディンキン図形は、半単純リー環の情報を「点と線の絵」に完全に圧縮したものです。00 本（無結合）＝直交＝直和、 11 本＝120°120°、22 本（矢印付き）＝135°135°、33 本（矢印付き）＝150°150°。装置の左下に、選んだルート系の ディンキン図形が表示されます。A2A_2 は一本線、B2B_2 は二重線＋矢印、G2G_2 は三重線＋矢印。リー環の分類が、 描ける絵を列挙する問題に化けたのです。

分類：許されるディンキン図形は有限

角度が四通りしかないという制約は、描けるディンキン図形を厳しく制限します。「連結で、正定値（実際にリー環に なる）」という条件を課すと、可能な図形は完全にリストアップできます。

定理 単純リー環の分類（ディンキン）

連結なディンキン図形は、次の四つの無限系列と五つの例外に限る： Aℓ, Bℓ, Cℓ, Dℓ(古典型)E6,E7,E8,F4,G2(例外型).A_\ell,\ B_\ell,\ C_\ell,\ D_\ell\quad(\text{古典型})\qquad E_6,E_7,E_8,F_4,G_2\quad(\text{例外型}). これらが（代数閉体・標数 00 の）単純リー環と一対一に対応する。半単純リー環はその直和＝図形の非連結和。

Aℓ=slℓ+1A_\ell=\mathfrak{sl}_{\ell+1}、Bℓ=so2ℓ+1B_\ell=\mathfrak{so}_{2\ell+1}、Cℓ=sp2ℓC_\ell=\mathfrak{sp}_{2\ell}、 Dℓ=so2ℓD_\ell=\mathfrak{so}_{2\ell}——古典型は見慣れた行列リー環。そして E8E_8 のような例外型は、 角度の制約だけから「たまたま許される」有限個の特別な図形として現れる。物理も幾何も要らず、 「4cos⁡2θ∈{0,1,2,3}4\cos^2\theta\in\{0,1,2,3\}」という整数条件と「正定値」という線形代数だけから、宇宙に存在しうる単純リー環の リストが完全に決まってしまう——これが分類定理の凄みです。

注意 つまずきポイント

  • 単純ルートは階数個だけ。全ルートの生成元。ワイル反射で他のルートが全部出る（前章の装置）。少数の データに全構造が凝縮。
  • 角度四通りの理由は整数性。4cos⁡2θ4\cos^2\theta が整数 {0,1,2,3}\{0,1,2,3\}。sl₂ の梯子が強制するカルタン整数の 整数性が根拠。深い定理が素朴な整数条件に落ちる。
  • ディンキン図形＝分類データ。点と線の絵がリー環を完全に決める。矢印は長短（二重・三重結合のとき）。 例外型 E8E_8 等は角度制約から出る有限個の特別ケース。

この章のまとめ

  • ルート系は少数の単純ルート（階数個）に凝縮でき、他のルートはワイル反射で生成される。
  • カルタン整数 ⟨α,β⟩\langle\alpha,\beta\rangle は整数（sl₂ の梯子）。積 4cos⁡2θ∈{0,1,2,3}4\cos^2\theta\in\{0,1,2,3\} ゆえ 単純ルートの角度は 90°/120°/135°/150°90°/120°/135°/150° の四通りだけ。
  • カルタン行列・ディンキン図形が四通りの関係を点と線に圧縮（結合本数 0/1/2/30/1/2/3、長短で矢印）。
  • 分類定理：連結ディンキン図形＝Aℓ,Bℓ,Cℓ,DℓA_\ell,B_\ell,C_\ell,D_\ell（古典型）＋E6,E7,E8,F4,G2E_6,E_7,E_8,F_4,G_2（例外型）が 単純リー環と一対一。整数条件と正定値性だけから、単純リー環の全リストが決まる。

最終章は、この分類を土台に、半単純リー環の表現論（最高ウェイト理論）を概観し、普遍展開環・量子群・物理への 広がりを展望して、非可換環とリー環という二つの構造論の旅を総括します。