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第10章 カルタン部分環とルート系

半単純リー環が「良い対象」だと分かったので、いよいよその内部構造を暴きます。鍵は、線形代数で行列を 対角化したのと同じ発想です。リー環の中に「同時対角化できる極大な可換部分」——カルタン部分環——を見つけ、 その随伴作用の固有値を読み取る。この固有値がルートで、リー環はルートごとの固有空間（ルート空間）に 分解します。半単純リー環の設計図が、平面上に並ぶルートの幾何として姿を現す瞬間です。

カルタン部分環：同時対角化の舞台

線形代数で、可換な行列の族は同時対角化できました。リー環でも、可換な部分をとれば その随伴作用を同時対角化できます。その「可換な部分」を最大限に大きく取ったものがカルタン部分環です。

定義 カルタン部分環

半単純リー環 g\mathfrak g のカルタン部分環 h\mathfrak h とは、極大な可換部分環で、その各元 H∈hH\in\mathfrak h の随伴作用 adH\mathrm{ad}_H が対角化可能（半単純）なもの。h\mathfrak h の次元を g\mathfrak g の 階数という。

h\mathfrak h が可換なので、{adH:H∈h}\{\mathrm{ad}_H:H\in\mathfrak h\} は互いに可換な対角化可能作用素の族——ゆえに 線形代数により同時対角化できます。sl2\mathfrak{sl}_2（33 次元）なら対角行列 H=diag(1,−1)H=\mathrm{diag}(1,-1) の張る 11 次元がカルタン部分環（階数 11）。sl3\mathfrak{sl}_3 なら対角の跡 00 行列で 22 次元（階数 22）。カルタン部分環を固定することが、リー環に「座標系」を入れる第一歩です。

ルート分解：固有値としてのルート

カルタン部分環 h\mathfrak h の随伴作用で g\mathfrak g を同時対角化すると、g\mathfrak g が固有空間に分解します。 その固有値がルートです。

定理 ルート空間分解

半単純リー環 g\mathfrak g はカルタン部分環 h\mathfrak h の随伴作用について g=h⊕⨁α∈Φgα,gα={X:[H,X]=α(H) X for all H∈h}\mathfrak g=\mathfrak h\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Phi}\mathfrak g_\alpha,\qquad \mathfrak g_\alpha=\{X:[H,X]=\alpha(H)\,X\ \text{for all }H\in\mathfrak h\} と分解する。各 α\alpha は h\mathfrak h 上の線形形式（h∗\mathfrak h^* の元）でルート、その全体 Φ\Phi を ルート系、gα\mathfrak g_\alpha（各 11 次元）をルート空間という。

読み解きましょう。[H,X]=α(H)X[H,X]=\alpha(H)X は「adH\mathrm{ad}_H が XX を固有値 α(H)\alpha(H) で拡大する」という 固有方程式。固有値 α(H)\alpha(H) は HH に線形に依存するので、α\alpha は h\mathfrak h 上の線形形式（＝ h∗\mathfrak h^* のベクトル）。だからルートはベクトル空間 h∗\mathfrak h^* の中の点として、平面（階数 22 なら）に 並びます。カルタン部分環 h\mathfrak h は固有値 00 の部分（[H,H′]=0[H,H']=0）、それ以外の各方向がルート空間。 半単純リー環の全構造が、このルートの配置に符号化されるのです。

sl₂ の梯子：最小の部品

ルート系を理解する鍵は、最小の半単純リー環 sl2\mathfrak{sl}_2 にあります。各ルート α\alpha に対し、 sl2\mathfrak{sl}_2 のコピーが埋め込まれているのです。

定義 sl₂ トリプルと梯子

sl2\mathfrak{sl}_2 は基底 H,E,FH,E,F を持ち、関係 [H,E]=2E,[H,F]=−2F,[E,F]=H.[H,E]=2E,\quad [H,F]=-2F,\quad [E,F]=H. EE（上昇演算子）は HH の固有値を +2+2 だけ上げ、FF（下降演算子）は −2-2 下げる。 表現の中で E,FE,F が固有値を梯子のように昇降させ、最高ウェイトから最低ウェイトまで等間隔に並ぶ。

各ルート α\alpha について {Eα,Fα=E−α,Hα}\{E_\alpha, F_\alpha=E_{-\alpha}, H_\alpha\} が sl2\mathfrak{sl}_2 を成し、 ad\mathrm{ad} でその梯子作用がルート系に効きます。すると「もし α\alpha がルートなら −α-\alpha もルート」 「ルートに α\alpha を足し引きした列がまた（有限個の）ルート」といった、ルート系の厳しい制約が出てきます。 sl2\mathfrak{sl}_2 の梯子が、大きな半単純リー環のルート系を組み上げる最小部品なのです（この梯子の構造は リー群の SU(2)\mathrm{SU}(2) 表現・スピンで見たものと同じ）。

ルート系を見る

ルート Φ\Phi は、h∗\mathfrak h^*（階数 22 なら平面）の中で、際立って対称的な有限のベクトル配置になります。 下の装置で、階数 22 の半単純リー環のルート系を見てください。

sl3\mathfrak{sl}_3（A2A_2）なら 66 本のルートが正六角形に、so5\mathfrak{so}_5（B2B_2）なら 88 本、G2G_2 なら 1212 本。sl2\mathfrak{sl}_2 のコピー（各ルート ±α\pm\alpha の対）が、これらの対称性を生んでいます。ルート系には 厳しい公理（次章）が課され、その結果、可能な配置は驚くほど限られます——単純ルートの間の角度が 90°/120°/135°/150°90°/120°/135°/150° の四通りしかない。この有限性が、半単純リー環の完全な分類（次章のディンキン図形）を 生む源です。

注意 ルート系の公理（次章への予告）

ルート系 Φ\Phi（ユークリッド空間内の有限ベクトル集合）は：(1) α∈Φ⇒−α∈Φ\alpha\in\Phi\Rightarrow-\alpha\in\Phi、その定数倍は ±α\pm\alpha のみ、(2) ルート α\alpha に垂直な鏡での反射（ワイル群）で Φ\Phi が自分自身に写る、 (3) カルタン整数 ⟨α,β⟩=2(α,β)/(β,β)\langle\alpha,\beta\rangle=2(\alpha,\beta)/(\beta,\beta) が常に整数、を満たす。装置の 「ワイル反射の鏡」は (2) を可視化したもの。この三公理が配置を極端に制限する。

注意 つまずきポイント

  • ルートは線形形式（h∗\mathfrak h^* の点）。adH\mathrm{ad}_H の固有値 α(H)\alpha(H) が HH に線形依存するので、 α\alpha はベクトル。だから平面に「並ぶ」。
  • カルタン部分環は同時対角化の舞台。可換だから ad\mathrm{ad} が同時対角化でき、その固有空間分解がルート 分解。線形代数の対角化のリー環版。
  • sl₂ の梯子が全構造を統べる。各ルートに sl2\mathfrak{sl}_2 が埋まり、その梯子作用がルート系の対称性・ 整数性を強制する。SU(2)\mathrm{SU}(2) のスピンと同じ構造。

この章のまとめ

  • カルタン部分環 h\mathfrak h＝極大可換部分（随伴作用が対角化可能）。その次元が階数。可換ゆえ adH\mathrm{ad}_H たちを同時対角化できる。
  • ルート空間分解 g=h⊕⨁αgα\mathfrak g=\mathfrak h\oplus\bigoplus_\alpha\mathfrak g_\alpha：固有値 α\alpha（ルート、 h∗\mathfrak h^* の点）ごとの固有空間分解。半単純リー環の全構造がルートの配置に符号化される。
  • sl₂ の梯子 [H,E]=2E,[H,F]=−2F,[E,F]=H[H,E]=2E,[H,F]=-2F,[E,F]=H：各ルートに埋まる最小部品。上昇・下降演算子がルート系の 対称性と整数性を強制する。
  • ルート系は h∗\mathfrak h^* の対称的な有限配置（A2A_2 六角形・B2B_2・G2G_2）。反射・カルタン整数の公理が 配置を極端に制限する。

次章は、ルート系から単純ルートを選び、カルタン行列とディンキン図形という組み合わせデータに凝縮 します。角度が四通りしかないことが、半単純リー環の完全な分類を生みます。