第11章仮説検定と区間推定

前章で $\hat p=0.58$ と点で推定しました。でも $100$ 回投げただけ。「 $0.58$ です」と言い切るのは危うい。本当に知りたいのは「 $p$ はどのくらいの範囲にありそうか」、そして「 $p=0.5$ （公平）という仮説は棄てるべきか」。ここで中心極限定理が実務の道具に変わります。推定の誤差を区間で表し、仮説を白黒つける——統計学が一番よく使われる場面です。

信頼区間：誤差を区間で表す

CLT（第6章）は、標本平均 $\bar X_n$ が母平均 $\mu$ を中心に、標準偏差 $\sigma/\sqrt{n}$ の正規分布でばらつくと言いました。これを逆に読むと、 $\mu$ を囲い込む区間が作れます。

$Z_n=\dfrac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}\approx N(0,1)$ なので、標準正規が $95\%$ の確率で入る範囲 $[-1.96,\,1.96]$ を使えば、 $P\big(-1.96\le \frac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}\le 1.96\big)\approx 0.95$ 。 $\mu$ について解くと：

定義信頼区間（母平均、大標本）

\left[\ \bar X_n-1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt n},\ \ \bar X_n+1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt n}\ \right]

はおよそ $95\%$ 信頼区間。 $\sigma$ が未知なら標本標準偏差 $s$ （第10章）で置き換える（大標本で正当化。小標本・正規母集団では $t$ 分布を使う）。

区間の幅は $2\times1.96\,\sigma/\sqrt n$ ——精度は $1/\sqrt n$ でしか上がらない。誤差を半分にするにはデータを $4$ 倍。CLT の $\sqrt n$ 則が、そのまま「必要な標本数」を決めます。コインの例（ $\hat p=0.58,\ n=100$ 、 $\sigma=\sqrt{p(1-p)}\approx0.5$ ）なら幅は $\pm 1.96\times0.05\approx\pm0.098$ 、区間は約 $[0.48,\,0.68]$ 。 $0.5$ を含む——「公平」を否定しきれません。

注意信頼区間の意味（最頻出の誤解）

「この区間に $\mu$ が $95\%$ の確率で入る」は厳密には誤り（頻度論では $\mu$ は定数、確率変数ではない）。正しくは 「同じ手続きで区間を作る操作を繰り返せば、そのうち約 $95\%$ の区間が真の $\mu$ を含む」。ランダムなのは区間の方。 $\mu$ に確率を付けたいなら、母数を確率変数と見るベイズ統計（次章）へ行く必要がある。

仮説検定：仮説を白黒つける

「 $p=0.5$ か否か」に判定を下す枠組みが仮説検定。裁判に似た論法を使います。まず 帰無仮説 $H_0$ （「差はない」「効果はない」など、否定したい保守的な仮説。例： $p=0.5$ ）を立て、 **「 $H_0$ が正しいと仮定したら、観測データはどれほど珍しいか」**を測る。珍しすぎれば $H_0$ を棄てる。

定義検定の枠組み

$H_0$ vs 対立仮説 $H_1$ 。データから検定統計量を計算し、 $H_0$ のもとでそれが落ちる確率分布（帰無分布）を求める。統計量が「 $H_0$ では起こりにくい領域（棄却域）」に入れば $H_0$ を棄却する。棄却域の大きさを有意水準 $\alpha$ （例 $5\%$ ）で決める。

コインの例。 $H_0: p=0.5$ のもとで $\bar X_n\approx N(0.5,\ 0.25/n)$ 。観測 $\hat p=0.58$ を標準化すると $z=\dfrac{0.58-0.5}{0.5/\sqrt{100}}=\dfrac{0.08}{0.05}=1.6$ 。両側 $5\%$ の棄却域は $|z|>1.96$ 。 $1.6<1.96$ なので 棄却できない（信頼区間が $0.5$ を含んだことと整合）。もし $n=400$ で同じ $\hat p=0.58$ なら $z=3.2$ で棄却。同じズレでも、データが多いほど「偶然では説明しにくい」——ここでも $\sqrt n$ が効いています。

判定には二種類の間違いが必ず伴います。

定義二種類の誤りと検出力

第一種の誤り（偽陽性）： $H_0$ が正しいのに棄却する。確率 $=\alpha$ （有意水準）。
第二種の誤り（偽陰性）： $H_1$ が正しいのに棄却しない。確率 $=\beta$ 。
検出力： $1-\beta$ （ $H_1$ が正しいとき正しく棄却する確率）。

$\alpha$ を小さくする（棄却しにくくする）と $\beta$ が増える——トレードオフです。裁判の「疑わしきは罰せず」は $\alpha$ （無実を有罪にする誤り）を特に小さく抑える思想。両方同時には下げられないので、 $\alpha$ を固定して $\beta$ を最小化（検出力を最大化）するのが定石。それを実現する検定を、次の補題が構成します。

p値の正しい意味

実務では棄却域よりp値で報告します。

定義 p値

p値とは「 $H_0$ が正しいと仮定したとき、実際に観測された統計量以上に極端な値が出る確率」。 $p<\alpha$ なら $H_0$ を棄却する。

上のコイン（ $z=1.6$ ）なら p値 $=P(|Z|\ge1.6)\approx0.11$ 。 $0.11>0.05$ なので棄却しない。 p値は「データが $H_0$ とどれだけ折り合わないか」の目盛りです。ただし誤解が非常に多い概念です。

注意 p値は「H₀ が正しい確率」ではない

p値 $=0.11$ は「 $H_0$ が正しい確率が $11\%$ 」では断じてない。p値は「 $H_0$ を仮定した上での、データの珍しさ」。 $P(\text{データ}\mid H_0)$ 型であって $P(H_0\mid\text{データ})$ ではない（両者を入れ替える誤りは第12章のベイズで正される）。また「 $p\ge\alpha$ 」は「 $H_0$ が正しい」ことの証明ではなく、単に「棄てるだけの証拠がない」。有意でも効果が 大きいとは限らない（ $n$ を増やせば些細な差でも有意になる）——p値と効果量は別物。

最強の検定：ネイマン–ピアソンの補題

有意水準 $\alpha$ を守る検定は無数にあります。そのうち検出力が最大なものは何か。単純仮説どうし（ $H_0:\theta=\theta_0$ vs $H_1:\theta=\theta_1$ ）なら、答えは尤度比という一つの量で完全に決まります。

定理ネイマン–ピアソンの補題

$H_0:\theta_0$ vs $H_1:\theta_1$ の検定で、水準 $\alpha$ を満たすもののうち検出力を最大にするのは、 尤度比が大きいところを棄却する検定：

\Lambda(x)=\frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)}=\frac{\prod f(x_i;\theta_1)}{\prod f(x_i;\theta_0)}>c

で棄却する（ $c$ は水準 $\alpha$ に合わせて決める）。この検定が最強力（most powerful）。

心は直感的です。棄却域に入れる $x$ を選ぶとき、「 $H_1$ のもとで起こりやすく（ $L(\theta_1)$ 大）、 $H_0$ のもとで起こりにくい（ $L(\theta_0)$ 小）」点ほど、 $H_1$ の証拠として価値が高い。だから尤度比の大きい順に棄却域へ詰め込むのが、限られた $\alpha$ の予算で検出力を最大化する最適な使い方——ちょうど、限られた重量で価値を最大化する荷造りと同じ発想です。多くの実用検定（ $z$ 検定・ $t$ 検定・ $\chi^2$ 検定）は、この尤度比検定の具体形になっています。

この章のまとめ

信頼区間は CLT から： $\bar X_n\pm1.96\,\sigma/\sqrt n$ がおよそ $95\%$ 区間。幅は $1/\sqrt n$ でしか縮まない。「区間が $\mu$ を含む確率」でなく「手続きを繰り返せば $95\%$ の区間が含む」が正しい意味。
仮説検定は $H_0$ を仮定してデータの珍しさを測る。第一種の誤り（ $=\alpha$ ）と第二種（ $=\beta$ ）はトレードオフ。p値は $P(\text{データ以上に極端}\mid H_0)$ で、「 $H_0$ が正しい確率」ではない。
ネイマン–ピアソン：単純仮説では尤度比検定が最強力。実用検定の理論的な芯。

信頼区間もp値も「母数は定数」という頻度論の立場でした。最後の章では立場を変え、母数そのものに確率を入れて「データを見た後の $\theta$ の確率」を語る——ベイズ統計へ進みます。

第11章 仮説検定と区間推定