第1章濃度 — 無限の大きさを比べる

「無限」は、ぜんぶ同じ大きさなのか

自然数 $1,2,3,\dots$ は無限にあります。偶数 $2,4,6,\dots$ も無限。実数 $\mathbb R$ も無限。どれも「無限個」。では——無限どうしに、大きい・小さいはあるのか？

素朴には「自然数より実数のほうが多そう」「偶数は自然数の半分だから少なそう」と感じます。でも「個数を数える」という手が使えない無限で、多い・少ないをどう決めればいいのか。ここをいい加減にすると、直感がことごとく裏切られます。実は**偶数と自然数は“同じ数”**で、 自然数と実数は“違う数”——しかもそれを厳密に証明できる。無限の大小をきちんと測る物差しが、この章の主役「濃度」です。

「数える」が使えないなら、1対1に対応づけられるかで大小を決める。これが濃度の考え方。

濃度：対応がつけば「同じ大きさ」

有限集合なら「要素を1個ずつペアにできる ⇔ 同数」。これを無限にもそのまま持ち込みます。

定義濃度が等しい

集合 $A,B$ の間に全単射（1対1かつ上への写像） $f:A\to B$ が存在するとき、 $A$ と $B$ は濃度が等しいといい $|A|=|B|$ と書く。 $A$ から $B$ への単射があるときは $|A|\le|B|$ 。

「要素を余さず・重複なくペアにできれば同じ大きさ」。この定義の恐ろしさは、次の例で分かります。

例全体と部分が同じ大きさ

$f(n)=2n$ は自然数 $\mathbb N=\{1,2,3,\dots\}$ から偶数全体への全単射。よって $|\mathbb N|=|\text{偶数}|$ 。 「偶数は自然数の一部なのに、同じ数」。無限では「部分＜全体」が壊れる——むしろこれを無限の定義に使うこともある（自分の真部分集合と対等になれるのが無限集合）。

可算：自然数と同じ大きさ

自然数と対応がつく無限が、いちばん“小さい”無限です。

定義可算・非可算

$\mathbb N$ と濃度が等しい集合を可算無限という（ $1$ 列に番号づけできる）。有限か可算無限のものを高々可算、そうでない無限を非可算という。

定理有理数は可算

整数 $\mathbb Z$ 、有理数 $\mathbb Q$ 、可算集合の可算個の和——これらはすべて可算。

$\mathbb Q$ が可算なのは意外です。数直線上びっしり詰まっている（どの2点の間にも無限個ある）のに、 うまく1列に並べれば番号を振り切れる。分数 $p/q$ を「 $|p|+|q|$ が小さい順・同点は適当な順」で並べる“対角線的な数え上げ”がその並べ方。「隙間なく詰まっている」ことと「番号が振れる」ことは別問題だ、という最初の教訓です。

対角線論法：番号を振り切れない無限

では実数はどうか。ここで数学史上もっとも美しい論法の一つ、対角線論法が登場します。結論だけ言えば「どんなに頑張って1列に並べても、必ずリストから漏れる数を作れる」。

下の表で体験してください。無限に続く $0/1$ の列を好きなだけ縦に並べても、 対角線を取り出して反転させた列 $d$ を作れば、 $d$ は第 $i$ 行と第 $i$ 桁で必ず食い違う。つまり $d$ はどの行とも一致せず、リストに載っていません。何度作り直しても、同じことが起きます。

定理カントールの対角線論法

$\{0,1\}$ の無限列全体（＝ $\mathbb N$ の部分集合全体 $2^{\mathbb N}$ 、＝実数区間 $[0,1]$ と同濃度）は非可算である。すなわち $|\mathbb N|<|\mathbb R|$ 。

証明

$\{0,1\}$ の無限列が可算だと仮定し、 $s_1,s_2,\dots$ と全部並べたとする。 $d_i=1-s_i(i)$ （第 $i$ 列の第 $i$ 桁を反転）で列 $d$ を作ると、 $d$ は各 $s_i$ と第 $i$ 桁で異なるのでどの $s_i$ とも一致しない。だが $d$ も $\{0,1\}$ の無限列。並べたはずのリストに $d$ が無い——矛盾。よって非可算。

一般化すると、どんな集合 $A$ も、そのべき集合 $2^A$ より真に小さい（ $|A|<|2^A|$ 、カントールの定理）。無限には最大がなく、より大きな無限がいくらでも作れます。

ベルンシュタインの定理と連続体濃度

「濃度が等しい」を示すには全単射を作らねばならず、しばしば大変です。次の定理が救ってくれます。

定理カントール–ベルンシュタインの定理

$|A|\le|B|$ かつ $|B|\le|A|$ （両向きの単射がある）ならば $|A|=|B|$ （全単射がある）。

「互いに相手の中に埋め込めれば、同じ大きさ」。数の大小で当たり前の $a\le b\ \&\ b\le a\Rightarrow a=b$ が、濃度でも成り立つ、という保証です。全単射を直接作らずに、作りやすい単射を2本用意すれば済むので、実用上きわめて強力。これを使うと $[0,1]$ と $\mathbb R$ 、 $\mathbb R$ と平面 $\mathbb R^2$ が同濃度、といった等式が楽に出ます。

定義連続体濃度

$|\mathbb R|=|2^{\mathbb N}|$ を連続体濃度 $\mathfrak c$ という。 $|\mathbb N|=\aleph_0$ とすると $\mathfrak c=2^{\aleph_0}>\aleph_0$ 。

注意連続体仮説

「 $\aleph_0$ と $\mathfrak c$ のあいだの濃度は存在するか」——これが連続体仮説。驚くべきことに、これは通常の集合論の公理（ZFC）からは証明も反証もできない（ゲーデルとコーエン）。無限の階段の“段の間隔”は、今の数学の土台では決められない。詳しくは数理論理学・数学基礎論へ。

つまずきポイント

注意よくある誤解

「無限＋無限＝より大きい無限」ではない。 可算＋可算は可算、可算×可算も可算。無限の足し算・掛け算は素朴な直感と違う。
「びっしり詰まっている＝非可算」ではない。 $\mathbb Q$ は稠密だが可算。稠密さ（第3章）と濃度は無関係。
対角線論法は「作った $d$ がリストに無い」が核。 $d$ を作れること自体が矛盾を生む。ベルンシュタインと混同しない。

この章のまとめ

無限の大小は「数える」ではなく全単射があるかで測る。ゆえに $|\mathbb N|=|\text{偶数}|=|\mathbb Z|=|\mathbb Q|$ （すべて可算）。
対角線論法により $\mathbb R$ は非可算（ $|\mathbb N|<|\mathbb R|$ ）。より大きい無限はべき集合でいくらでも作れる。
ベルンシュタインの定理（両向きの単射 ⇒ 同濃度）で濃度計算が楽になる。 $|\mathbb R|=\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ 。

次章は、無限を扱うときに必ず顔を出す順序と選択公理——ツォルンの補題と整列可能定理を整えます。

第1章 濃度 — 無限の大きさを比べる