第1章相空間とシンプレクティック形式

振り子の状態は「角度」と「角速度（運動量）」の組で決まります。惑星なら「位置」と「運動量」。物理では、系の状態全体がなす空間を相空間と呼びます。変分法のハミルトン力学で見たように、運動は相空間の中の軌道として描かれました。この章では、その相空間に隠れた幾何構造——シンプレクティック形式——を掘り起こします。リーマン幾何が「長さ」を測る計量を持つのに対し、シンプレクティック幾何が測るのは向きのついた面積。距離ではなく“ねじれ”の幾何です。

相空間には自然な「面積」がある

相空間 $\mathbb R^{2n}$ を座標 $(q_1,\dots,q_n,p_1,\dots,p_n)$ （位置 $q$ ・運動量 $p$ ）で表します。ここに、リーマン計量とはまったく別の、位置と運動量を組にして測る量が自然に備わっています。

定義標準シンプレクティック形式

$\mathbb R^{2n}$ 上の $2$ 形式 $\omega_0=\sum_{i=1}^n dp_i\wedge dq_i$ を標準シンプレクティック形式という。各 $(q_i,p_i)$ 平面での「向きのついた面積」を測り、それらを足し合わせたもの。二つのベクトル $u,v$ に対し $\omega_0(u,v)$ は、 $u,v$ が張る平行四辺形の（ $(q,p)$ 平面への射影の）符号つき面積。

計量 $g(u,v)=\sum u_iv_i$ が対称（ $g(u,v)=g(v,u)$ 、長さ・角度を測る）だったのに対し、 $\omega_0$ は 反対称（ $\omega_0(u,v)=-\omega_0(v,u)$ 、面積・向きを測る）です。とくに $\omega_0(u,u)=0$ ——自分自身との「面積」はゼロ。長さを測る計量と、面積を測るシンプレクティック形式は、幾何の測り方として根本的に異なります。なぜ物理がこの反対称な形式を必要とするのかは、次章以降のハミルトン力学で明らかになります。

二つの条件：閉じて、非退化

一般の多様体上でこの構造を定義するには、 $\omega_0$ の本質的な性質を二つ抜き出します。

定義シンプレクティック多様体

多様体 $M$ 上の $2$ 形式 $\omega$ がシンプレクティック形式とは、次の二条件を満たすこと：

閉形式： $d\omega=0$ 。
非退化：各点で、 $\omega(u,v)=0$ がすべての $v$ について成り立つのは $u=0$ のときだけ。

このとき $(M,\omega)$ をシンプレクティック多様体という。

二つの条件それぞれに意味があります。非退化性は「 $\omega$ が接空間の反対称な内積として退化しない」—— どの方向のベクトルも、必ずどれかと非ゼロの面積を作る。この条件から、後で「ハミルトニアン $H$ から運動 $X_H$ が一意に決まる」（第5章）ことが従います。閉形式 $d\omega=0$ は複素幾何のケーラー条件と同じ形で、これが「局所的に標準形に見える」（ダルブーの定理、第3章）ことと、ハミルトン流が $\omega$ を保つ（第5章）ことの源になります。非退化が“各点の”良さ、閉性が“つながり方”の良さです。

なぜ偶数次元か

非退化性は、シンプレクティック多様体の次元に強い制約を課します。

命題シンプレクティック多様体は偶数次元・向き付け可能

シンプレクティック形式を持つ多様体は必ず偶数次元 $2n$ であり、 $\omega^n=\omega\wedge\cdots\wedge\omega$ （ $n$ 個の外積）が至るところ非ゼロの体積形式を与える。とくに向き付け可能。

証明

反対称双線形形式 $\omega$ が非退化なら、線形代数より、その表現行列は奇数次元では必ず行列式 $0$ （反対称行列 $A$ は $\det A=\det A^\top=\det(-A)=(-1)^{\dim}\det A$ で、奇数次元だと $\det A=0$ ）。非退化＝行列式非零だから、次元は偶数 $2n$ 。さらに非退化性から $\omega^n\neq0$ ——これが体積形式（リウヴィル体積）を与え、向きを定める。

「相空間は位置と運動量が対になる」——だから次元は必ず偶数、という物理的直感が、反対称形式の非退化性から数学的に出てきます。そして $\omega^n$ が体積形式になることは決定的です。ハミルトン流がこの体積を保存する（第5章のリウヴィルの定理）ことが、統計力学の基礎になります。距離を測らないのに体積は測れる——これがシンプレクティック幾何の面白さです。

リーマン幾何との対比

シンプレクティック幾何の性格を、リーマン幾何と対比して掴んでおきましょう。

注意計量 g とシンプレクティック形式 ω

	リーマン計量 $g$	シンプレクティック形式 $\omega$
対称性	対称 $g(u,v)=g(v,u)$	反対称 $\omega(u,v)=-\omega(v,u)$
測るもの	長さ・角度	向きのついた面積
局所不変量	曲率（各点で異なりうる）	なし（ダルブーで標準形、第3章）
主役	曲率・測地線	大域的な形・その上の運動

リーマンは「局所の曲がり」に情報があるが、シンプレクティックは局所的にはどこも同じ——情報は大域にある。これが分野の性格を決定づける。

注意つまずきポイント

$\omega$ は反対称、 $g$ は対称。 $\omega(u,u)=0$ （自分との面積はゼロ）。計量の「長さ」の直感をそのまま持ち込まない。測るのは面積・向き。
二条件の役割を区別。非退化＝各点の良さ（ $H$ から $X_H$ が決まる）、閉 $d\omega=0$ ＝つながり方の良さ（ダルブー・流れが $\omega$ を保つ）。
偶数次元は必然。反対称非退化形式は偶数次元でしか存在しない。位置と運動量の対、という物理が数学に刻まれている。

この章のまとめ

相空間（位置×運動量）には、自然なシンプレクティック形式 $\omega_0=\sum dp_i\wedge dq_i$ が備わる。計量が長さを測る（対称）のに対し、 $\omega$ は向きのついた面積を測る（反対称）。
一般のシンプレクティック多様体 $(M,\omega)$ ＝閉（ $d\omega=0$ ）かつ非退化な $2$ 形式を持つ多様体。非退化が各点の良さ、閉性がつながり方の良さ。
非退化性から次元は必ず偶数 $2n$ 、 $\omega^n$ が体積形式（リウヴィル体積）を与え向き付け可能。
リーマンと違い局所不変量（曲率）を持たない——情報は大域にある。これが分野の性格。

次章は、まず一点の接空間だけを取り出し、線形シンプレクティック代数を調べます。標準形の存在、シンプレクティック群 $\mathrm{Sp}(2n)$ 、そして次章のダルブーの定理の線形版を用意します。

第1章 相空間とシンプレクティック形式