第2章 線形シンプレクティック代数

多様体を調べる前に、まず一点の接空間だけを取り出して線形代数をします。シンプレクティック形式は各点で 「反対称・非退化な双線形形式」を与えるので、そういう形式を持つベクトル空間——シンプレクティックベクトル空間 ——の構造を尽くしておけば、次章のダルブーの定理（多様体版）への足場になります。鍵になる発見は、 すべての線形シンプレクティック空間が同じ標準形を持つこと。これが「局所に情報がない」という、この分野の 性格の線形版です。

シンプレクティックベクトル空間と標準形

計量つき空間（内積空間）は正規直交基底で標準形 $\sum u_iv_i$ になりました。シンプレクティック空間にも、 同様の標準基底があります。

証明は内積空間のグラム–シュミットとそっくりです。ペア $(e_i,f_i)$——位置と運動量の対——を一組ずつ取り出して いく。結論が強烈です。シンプレクティックベクトル空間は、次元 $2n$ さえ決めれば同型を除いて一意。内積空間が （符号を除き）次元で決まるのと同じで、シンプレクティック空間には「次元以外の局所的な情報がない」。これが 次章のダルブーの定理（曲率のような局所不変量がない）の線形版です。

シンプレクティック群 Sp(2n)

シンプレクティック形式を保つ線形変換を集めると、群になります。リーマン幾何の直交群 $\mathrm O(n)$ に対応する 存在です。

$\mathrm{Sp}(2n,\mathbb R)$ はリー群で、次元は $n(2n+1)$。$2n=2$ のとき $\mathrm{Sp}(2,\mathbb R)$ は ちょうど面積と向きを保つ線形変換 $\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$（行列式 $1$）に一致します——「面積を保つ」という シンプレクティックの本質が、最小の場合にはっきり見える。物理では、ハミルトン系の時間発展や正準変換 （第6章）がこの群の元として現れ、「シンプレクティック性の保存」が力学の骨格になります。対応する リー環 $\mathfrak{sp}(2n)$ は $J_0 A$ が対称となる行列 $A$ の全体です。

ラグランジュ部分空間：半分次元の等方的な平面

シンプレクティック空間には、計量空間にはない特殊な部分空間があります。第4章で中心的役割を果たす概念を、 線形のレベルで先取りします。

$\omega(u,u)=0$（自分との面積はゼロ）でしたが、ラグランジュ部分空間は「その上ではどの二ベクトルの面積も ゼロ」という、$\omega$ が完全に消える最大の平面です。標準座標なら「位置だけの空間 $\{p=0\}$」や 「運動量だけの空間 $\{q=0\}$」がラグランジュ部分空間。半分の次元 $n$ を持つこの平面が、シンプレクティック 幾何のあらゆる場面（母関数・正準変換・不変量）で主役を務めます（第4章）。計量空間の直交補空間に相当する 役割を、シンプレクティックではラグランジュ部分空間が担うのです。

この章のまとめ

• シンプレクティックベクトル空間 $(V,\omega)$＝反対称・非退化な双線形形式を持つ空間。シンプレクティック 基底 $e_i,f_i$（$\omega(e_i,f_j)=\delta_{ij}$）で標準形になり、次元 $2n$ だけで同型を除き一意（局所に 情報がない、の線形版）。
• シンプレクティック群 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb R)$＝$\omega$ を保つ線形変換。$\mathrm{Sp}(2)=\mathrm{SL}(2)$ （面積保存）。力学の正準変換の受け皿。
• ラグランジュ部分空間＝$\omega$ が完全に消える最大次元 $n$ の等方部分空間（$\{p=0\}$ など）。計量の 直交補にあたる特別な平面で、第4章の主役。

次章は、この線形の標準形を多様体全体に持ち上げます。ダルブーの定理——シンプレクティック多様体は 局所的にどこも標準形 $\sum dp\wedge dq$ に見える——を示し、リーマン幾何との決定的な違いを確立します。