第10章 グロモフの非圧縮定理

第3章のダルブーの定理は「局所には情報がない（何でも標準形）」と教えました。では大域はどうか。長らく、 シンプレクティック変換は「体積を保つ」以外に制約がないのでは、と思われていました。1985 年、グロモフが それを覆します——大きな球は、細い管（シリンダー）にシンプレクティックに押し込めない。体積だけ見れば いくらでも押し込めるのに、シンプレクティック構造がそれを禁じる。「局所は自由、大域は硬い」というこの分野の 性格が、最も劇的に現れる定理です。シンプレクティック剛性の発見を見ます。

問題設定：球は管に入るか

二つの領域を用意します。半径 $r$ の球 $B^{2n}(r)=\{|z|<r\}$ と、半径 $R$ の（$1$ 番目の座標平面方向の） シリンダー $Z^{2n}(R)=\{z_1^2+z_2^2<R^2\}$——これは $(q_1,p_1)$ 平面の円板 $\times$ 残りの方向すべて、という 「細いが無限に長い管」です。$B(r)$ を $Z(R)$ の中にシンプレクティックに埋め込めるか、と問います。

まず体積で考えましょう。$Z(R)$ は無限に長いので体積は無限大。$B(r)$ の体積は有限。だから体積の制約だけ なら、どんなに大きな球 $B(r)$ でも、細い管 $Z(R)$（$R$ が小さくても長い）に楽々入るはずです。実際、体積を 保つ微分同相なら押し込めます（球をソーセージ状に細長く変形すればよい）。ところが——。

グロモフの非圧縮定理

これは衝撃的です。体積では $B(r)$ は $Z(R)$ に無限の余裕で入るのに、シンプレクティック構造は $r\le R$——「球の“太さ”が管の“太さ”以下」——を要求する。管の断面（$(q_1,p_1)$ 平面の円板）の半径 $R$ が、 球の半径 $r$ を押しとどめる。体積という粗い量では見えない、断面積のような繊細な量が保存されているのです。 「シンプレクティック変換は体積を保つ以外に制約がない」という予想は、これで完全に否定されました。ボールを どうソーセージに引き伸ばそうとしても、$(q_1,p_1)$ 方向の“太さ”だけは細くできない——シンプレクティックの 剛性です。

シンプレクティック容量：新しい不変量

非圧縮定理は、体積とは別の不変量の存在を示唆します。それがシンプレクティック容量です。

容量は「シンプレクティックな太さ」を測る不変量です。決定的なのは (3)——球とシリンダーで容量が同じ $\pi r^2$（断面積）であること。これが非圧縮を生みます：$B(r)\hookrightarrow Z(R)$ なら単調性から $\pi r^2=c(B(r))\le c(Z(R))=\pi R^2$、すなわち $r\le R$。体積が $2n$ 次元の量（$r^{2n}$ のオーダー）なのに対し、 容量は**$2$ 次元的な量**（$r^2$）——次元によらず「面積のスケール」で効く。第1章で「$\omega$ は面積を測る」と 言いましたが、その面積が大域的な埋め込みの障害として立ちはだかるのです。

この章のまとめ

• グロモフの非圧縮定理：球 $B(r)$ がシリンダー $Z(R)$ にシンプレクティックに埋め込める ⟺ $r\le R$。 体積には無限の余裕があっても、シンプレクティック構造が押し込みを禁じる。
• 「シンプレクティック変換は体積保存以外に制約なし」という予想を否定。$(q_1,p_1)$ 方向の“太さ”は細くできない ——シンプレクティック剛性。
• シンプレクティック容量：体積と独立な不変量。$c(B(r))=c(Z(r))=\pi r^2$（面積スケール、次元によらず）。 単調性から非圧縮が従う。
• シンプレクティック幾何は柔性（ダルブー・体積）と剛性（非圧縮・容量）のせめぎ合い。局所自由・大域硬い。

グロモフはこの定理を、まったく新しい道具——擬正則曲線——で証明しました。次章は、その擬正則曲線と、 それが生んだフレアーホモロジー・アーノルド予想という現代シンプレクティック幾何の中心へ進みます。