第9章 概複素構造と両立計量

後半、大域シンプレクティック幾何に入ります。シンプレクティック形式 $\omega$ には距離がありませんでした （第1章）。でも解析の道具を使うには、計量が欲しい。そこで $\omega$ と両立する概複素構造 $J$ を選びます。 $J$ を通して $\omega(\cdot,J\cdot)=g$ という計量が生まれ、複素幾何の概複素構造と手を結ぶ。 決定的なのは、この $J$ は可積分でなくてよい（本物の複素多様体でなくてよい）こと。そのゆるさが、 第11章の擬正則曲線という強力な解析の道具を可能にします。$\omega$・$J$・$g$ の三者が織りなす舞台を用意します。

両立する概複素構造

複素幾何で、概複素構造 $J$（$J^2=-1$、各点で「$i$ を掛ける」）を学びました。それを シンプレクティック形式と“調和”させます。

複素幾何第5章の三位一体 $\omega(X,Y)=g(JX,Y)$ と同じ関係が、ここでも成り立ちます。 違いは向き——複素幾何では計量 $g$ と $J$（可積分）から $\omega$ を作りましたが、シンプレクティックでは $\omega$ が先にあり、それに合わせて $J$（と $g$）を選ぶ。$\omega$・$J$・$g$ のうち二つを決めれば三つ目が 決まる、という関係は同じです。

両立する J は必ず存在し、しかも本質的に一つ

両立する $J$ が選べるか、選び方に恣意性はないか——これが解析の道具として使うための要点です。答えは 「必ず存在し、選択に本質的な曖昧さはない」。

可縮であることが決定的です。「$J$ の選び方に本質的な自由度がない」ので、$J$ を選んで定義した不変量 （第11章のグロモフ–ウィッテン不変量・フレアーホモロジー）は、実は $J$ の選び方によらない——ホモトピーで 繋がっているから。恣意的に見える $J$ の選択が、最終的な不変量には影響しない。この事実が、$J$ を「計算の ための補助道具」として自由に使うことを許します。第10・11章の剛性の議論は、この $J$ の存在と可縮性の上に 成り立っています。

可積分でなくてよい、というゆるさ

ここで、シンプレクティックと複素幾何の決定的な違いが現れます。

$J$ を可積分に取れればケーラー多様体——複素幾何の豊かなホッジ理論が使えます。しかし 一般のシンプレクティック多様体では $J$ を可積分にできない。それでも「概」複素構造 $J$ は取れるので、 $J$-正則な曲線（第11章）という一次元的な正則対象は定義できる。可積分性を諦める代わりに、曲線という 低次元の正則対象で解析を回す——これがグロモフの革命的なアイデアで、次章以降で開花します。

この章のまとめ

• シンプレクティック形式に両立する概複素構造 $J$（$J^2=-1$、$\omega(JX,JY)=\omega(X,Y)$、 $g=\omega(\cdot,J\cdot)>0$）を選ぶと、計量 $g$ が生まれ概ケーラー多様体になる。$\omega,J,g$ は三位一体。
• 両立する $J$ は必ず存在し、その空間は可縮。ゆえに $J$ で定義した不変量は $J$ の選び方によらない （補助道具として自由に使える）。
• ケーラー（複素幾何）と違い、$J$ は可積分でなくてよい。概ケーラー ⊋ ケーラーで、 シンプレクティックは広い。可積分性を諦める代わりに、正則曲線で解析する道が開ける。

次章は、この $J$ と計量を武器に、シンプレクティック幾何の最も驚くべき大域現象——グロモフの非圧縮定理を 見ます。体積では説明できない、シンプレクティック特有の「剛性」の発見です。