第3章ヒルベルトの零点定理

辞書を完成させる一手

第1章で、 $V$ （代数→幾何）と $I$ （幾何→代数）が“ほぼ”逆対応だが、 $I(V(S))\supseteq S$ が等号にならない —— $V(x^2)=V(x)$ なのに $x^2\ne x$ ——という“べき乗の曖昧さ”が残ると見ました。この最後のずれを完全に埋めるのが、代数幾何の礎石ヒルベルトの零点定理（Nullstellensatz、「零点の定理」）です。

零点定理は二つの顔をもちます。弱形は「方程式に解があるか」を代数で判定し、強形は「図形で消える多項式は何か」を根基イデアルで言い当てる。これで $V$ と $I$ が過不足なく一対一に対応し、幾何と代数の辞書が完成します。以下、 $k$ は代数閉体（ $\mathbb C$ など）とします。

零点定理： $I(V(J))=\sqrt J$ （根基）。図形で消える多項式は「べき乗すると $J$ に入る」もの全体。辞書が完成する。

弱形——解があるか

まず「連立方程式に共通解があるか」を代数で言い切る形。解が無い（ $V=\varnothing$ ）のは、方程式が「 $1=0$ を導く」＝イデアルが全体になるとき、ちょうどそのときだけ。

定理ヒルベルトの零点定理（弱形）

$k$ を代数閉体、 $J\subseteq k[x_1,\dots,x_n]$ をイデアルとする。

V(J)=\varnothing\ \iff\ J=(1)=k[x_1,\dots,x_n]\ \ (1\in J).

すなわち「共通零点がない ⟺ $1$ がイデアルに入る（方程式から矛盾 $1=0$ が導ける）」。

「解が無いことは、方程式を多項式で組み合わせて $1$ を作れること」——これは連立一次方程式の「解なし ⟺ $0=1$ が導ける」の、非線形版です。代数閉性が本質的で、実数だと $V(x^2+1)=\varnothing$ なのに $(x^2+1)\ne(1)$ となって崩れます（第1章の複素で考える理由）。

注意弱形の言い換え——極大イデアルは点

弱形から「 $k[x_1,\dots,x_n]$ の極大イデアルは $\mathfrak m_p=(x_1-a_1,\dots,x_n-a_n)$ （点 $p=(a_i)$ に対応）の形しかない」が従う。極大イデアル ↔ 点。これは第10章の $\operatorname{Spec}$ （素イデアルを点とみなす）の原型で、「イデアルが点である」という発想の出発点。代数（極大イデアル）と幾何（点）が完全に一致する。

強形——根基イデアル

弱形を使うと、“べき乗の曖昧さ”の正体が分かります。図形 $V(J)$ で消える多項式 $f$ は、 $f$ そのものが $J$ に入らなくても、あるべき乗 $f^m$ が $J$ に入るもの——これを集めたのが根基イデアルです。

定義根基イデアル

イデアル $J$ の根基を

\sqrt J=\{\,f : f^m\in J\ \text{となる }m\ge1\text{ がある}\,\}

と定める（これもイデアル）。 $\sqrt J=J$ のとき $J$ を根基イデアルという。

定理ヒルベルトの零点定理（強形）

$k$ を代数閉体、 $J$ をイデアルとすると

I(V(J))=\sqrt J.

「図形 $V(J)$ で消える多項式の全体」＝「 $J$ の根基」。

証明

$\sqrt J\subseteq I(V(J))$ は易しい（ $f^m\in J$ なら $V(J)$ 上で $f^m=0$ 、体だから $f=0$ ）。逆はラビノヴィッチの技法： $f\in I(V(J))$ とし、新変数 $t$ を足して $J'=(J,\ tf-1)\subseteq k[x_1,\dots,x_n,t]$ を考える。 $f$ は $V(J)$ 上で消えるので $J'$ は共通零点をもたない（ $tf=1$ かつ $f=0$ は不可能）。弱形より $1\in J'$ 。この関係式で $t=1/f$ を代入し分母を払うと $f^m\in J$ が出る。∎

証明の技巧「 $tf-1$ を足して弱形に帰着」（ラビノヴィッチ）は、強形を弱形の系にする鮮やかな一手です。結論 $I(V(J))=\sqrt J$ が、 $V$ と $I$ の対応を完成させます。

辞書の完成——V と I は一対一

零点定理により、第1章のガロア対応が過不足のない一対一になります。根基イデアルに制限すれば、図形とイデアルが完全に対応する。

定理代数と幾何の辞書（完成形）

代数閉体上で、 $V$ と $I$ は次の一対一対応を与える：

\{\text{代数的集合}\}\ \xleftrightarrow{\ V,\ I\ }\ \{\text{根基イデアル}\},

包含を逆転。この対応の下で

\{\text{既約多様体}\}\leftrightarrow\{\text{素イデアル}\},\qquad \{\text{点}\}\leftrightarrow\{\text{極大イデアル}\}.

これが代数幾何の礎石です。図形の階層（点 ⊂ 既約多様体 ⊂ 代数的集合）が、イデアルの階層（極大 ⊂ 素 ⊂ 根基）にそっくり移る。幾何の問いを代数に翻訳し、逆も自由にできる。第2章の「既約 ⟺ 素」も、この辞書の一段として収まります。以降の章は、この辞書の上で幾何を展開していきます。

注意なぜ Nullstellensatz が“礎石”なのか

零点定理がなければ、「図形」と「イデアル」は別々の世界のまま。零点定理が両者を厳密に貼り合わせるからこそ、「幾何の定理を代数で証明する／代数の構造を幾何で見る」が正当化される。ヒルベルト基底定理（有限生成、環論）が“図形は有限個の方程式で書ける”を保証し、零点定理が“図形とイデアルは同じ”を保証する ——この二つのヒルベルトの定理が、古典代数幾何の土台。

つまずきポイント

注意よくある誤解

零点定理は代数閉体で成り立つ。 実数では弱形が崩れる（ $V(x^2+1)=\varnothing$ だが $(x^2+1)\ne(1)$ ）。 $\mathbb C$ や代数閉体が前提。
$I(V(J))=J$ ではなく $=\sqrt J$ 。 べき乗のぶんだけ大きい。 $V(x^2)=V(x)=\{0\}$ で $I=\sqrt{(x^2)}=(x)$ 。図形は重複度を見ない。
一対一は「根基イデアル」に限る。 一般のイデアルでは $J\ne I(V(J))$ 。 $V,I$ の完全対応は根基イデアルの世界で。
点↔極大、既約↔素、代数的集合↔根基。 三段の対応。幾何の階層が代数の階層に移る。

この章のまとめ

ヒルベルトの零点定理（弱形）： $V(J)=\varnothing\iff J=(1)$ （解なし ⟺ 矛盾 $1=0$ が導ける）。極大イデアル ↔ 点。
強形： $I(V(J))=\sqrt J$ （根基）。図形で消える多項式は「べき乗すると $J$ に入る」もの。証明は $tf-1$ を足すラビノヴィッチの技法。
辞書の完成： $V,I$ は $\{\text{代数的集合}\}\leftrightarrow\{\text{根基イデアル}\}$ の一対一（包含逆転）。点↔極大、既約多様体↔素、代数的集合↔根基。代数幾何の礎石。
図形とイデアルが完全に対応した。次章では、この辞書を「射（写像）」まで拡張し、座標環を通じて幾何と代数の圏同値を確立します。

次章では、座標環 $k[X]$ を導入し、多様体の間の射が環準同型に対応すること（幾何と代数の反変圏同値）を見ます。

第3章 ヒルベルトの零点定理