第9章層化と層の射

前層を層に直す

前章で「定数前層は層でない」（貼り合わせが壊れる）と見ました。でも、そういう前層を捨てるのではなく、 茎を変えずに層へ作り直す——それが層化です。層化は、前層に「局所的に貼り合わせられる切断」を付け加えて、最小限の修正で層にする操作。これで、あらゆる自然な構成（核・像・引き戻しなど）の結果を、つねに層の世界に留められます。

層化＝前層を、茎を保ったまま最小限の修正で層に直す操作。層の圏を「閉じた」丈夫な世界にする。

層化

定理層化

任意の前層 $\mathcal F$ に対し、層 $\mathcal F^+$ （層化）と前層の射 $\mathcal F\to\mathcal F^+$ が存在し、

各点で茎が一致： $(\mathcal F^+)_p=\mathcal F_p$ 。
普遍性： $\mathcal F$ から任意の層 $\mathcal G$ への射は、 $\mathcal F^+$ を一意に経由する。

すなわち層化は、前層の圏から層の圏への包含関手の左随伴（圏論）。

層化の作り方は「茎を束ねる」——各点の茎 $\mathcal F_p$ を集め、それらの“連続的な”切断（各点で芽を与え、局所的に前層の切断から来るもの）を新しい切断とします。これで貼り合わせ公理が回復し、しかも茎は変わりません。定数前層を層化すると、局所定数関数の層（各点の近くで定数だが、非連結なら成分ごとに違ってよい）になります ——貼り合わせが直った姿です。

普遍性（左随伴、圏論）が本質的です。層化は「前層を層にする最も効率的な方法」で、圏論の随伴の典型例。以後、前層として自然に現れる構成（次の像・余核など）は、層化して層にするのが約束事になります。

層の射と核・像

層の間の射は、各開集合での写像が制限と整合するもの。核・像・完全系列も定義でき、それらは茎で判定するのが鉄則です。

定義層の射・核・像

層 $\mathcal F,\mathcal G$ （アーベル群の層とする）の間の射 $\varphi:\mathcal F\to\mathcal G$ は、各 $U$ で準同型 $\varphi_U:\mathcal F(U)\to\mathcal G(U)$ を与え制限と整合するもの。

核 $\ker\varphi$ ： $U\mapsto\ker\varphi_U$ （これは層になる）。
像 $\operatorname{im}\varphi$ ：前層 $U\mapsto\operatorname{im}\varphi_U$ を層化したもの。

核はそのまま層になりますが、像は層化が要る——ここが微妙で重要な点です。「各開集合での像」を集めた前層は、一般に貼り合わせが壊れる（局所的に像に入るが、大域切断としては像から来ない、ということが起こる）。だから層化して像とします。この非対称（核はそのまま、像は層化）が、次の完全系列で大域切断の“ずれ”を生みます。

定義完全系列（層の）

層の射の列 $\mathcal F\xrightarrow{\varphi}\mathcal G\xrightarrow{\psi}\mathcal H$ が完全であるとは、 各点の茎で $\operatorname{im}\varphi_p=\ker\psi_p$ が成り立つこと。完全性は茎で判定する。

「完全性は茎で判定」が鉄則です。層の射が単射・全射・同型かどうかは、すべて茎レベル（各点の局所情報）で決まります。とくに全射は「茎で全射」——各開集合で全射である必要はありません。この「茎では全射だが、大域切断では全射でない」というずれが、決定的な現象を生みます。

大域切断は完全性を壊す——コホモロジーへ

層の短完全系列に「大域切断をとる」操作 $\Gamma(X,-)=\mathcal F(X)$ を施すと、完全性が片側で壊れます。この壊れ具合を測るのが層係数コホモロジー——現代代数幾何の心臓の一つです（詳細は第12章）。

定理大域切断関手は左完全（右で壊れる）

層の短完全系列 $0\to\mathcal F\to\mathcal G\to\mathcal H\to0$ に大域切断 $\Gamma(X,-)$ を施すと

0\to\Gamma(X,\mathcal F)\to\Gamma(X,\mathcal G)\to\Gamma(X,\mathcal H)

は完全だが、右端の $\Gamma(X,\mathcal H)$ への写像は全射とは限らない（可換環論・ホモロジー代数の左完全関手）。この破れを測るのが層係数コホモロジー $H^i(X,\mathcal F)$ 。

「局所的には持ち上がる（茎で全射）のに、大域切断としては持ち上がらない」——この現象が、幾何の大域的な障害を表します。ホモロジー代数で「関手が完全性を壊すと導来関手（コホモロジー）が生まれる」と学んだ、その代数幾何版です。 $\Gamma$ の左完全性の破れ $H^i(X,\mathcal F)$ が、多様体の大域的な性質（次元・種数・オイラー標数）を捉えます。

注意層は「局所可解・大域障害」を測る装置

層の完全系列は「各点の近くでは解ける（茎で全射）」を保証する。だが大域切断まで持ち上がるかは別問題で、その障害がコホモロジー。リーマン面（複素解析）で「与えられた極をもつ有理型関数は存在するか」「因子に対応する関数はあるか」といった問いが、層係数コホモロジーの消滅・非消滅で答えられる。層は、局所と大域のギャップを精密に測る装置——だから現代幾何の言葉になった。

つまずきポイント

注意よくある誤解

像は層化が必要（核はそのまま）。 「各開集合での像」の前層は貼り合わせが壊れる。層化して像とする。この非対称が完全性の破れを生む。
完全性・全射は「茎で」判定。 各開集合で全射でなくても、茎で全射なら層として全射。局所と大域は違う。
大域切断 $\Gamma$ は左完全、右で壊れる。 局所的に持ち上がるものが大域で持ち上がらない。破れがコホモロジー。
層化は左随伴（普遍性）。 前層を層にする最効率の操作。圏論の随伴の典型。

この章のまとめ

層化 $\mathcal F^+$ ＝前層を茎を保って層に直す（普遍性＝包含の左随伴、圏論）。定数前層→局所定数層。
層の射・核・像・完全系列：核はそのまま層、像は層化が必要。完全性・単射・全射は茎で判定（局所と大域は違う）。
大域切断 $\Gamma(X,-)$ は左完全で右端が全射とは限らない。この破れ（局所可解だが大域で障害）を測るのが層係数コホモロジー $H^i(X,\mathcal F)$ （ホモロジー代数の代数幾何版）。
層の道具が揃った。次章では、任意の環に“図形”を対応させる $\operatorname{Spec}$ と、その上の構造層を作り、スキームへの最後の一歩を踏みます。

次章では、環の素イデアルの空間 $\operatorname{Spec}$ とザリスキ位相・構造層を構成し、アフィンスキームを定義します。

第9章 層化と層の射