⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第8章 随伴関手

対になった関手——自由と忘却

第2章で、忘却関手 U:Grp→SetU:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}（群を台集合に）と自由関手 F:Set→GrpF:\mathbf{Set}\to\mathbf{Grp} （集合を自由群に）を見ました。この二つには特別な関係があります。集合 SS から群 GG の“中身”への写像 （S→U(G)S\to U(G)）は、自由群からの群準同型（F(S)→GF(S)\to G）と一対一に対応する。「生成元をどこへ送るか決めれば、 準同型が一意に決まる」——自由群の定義そのものです。

この「一方の関手で作った対象からの射」と「他方で移した対象への射」が一対一に対応する関係を随伴といいます。 圏論でもっとも重要で遍在する概念の一つ。極限・自由対象・テンソル–Hom・論理の量化子——数学のいたるところに 現れる「対になった構成」の正体です。

随伴 F⊣GF\dashv G：Hom(F(A),B)≅Hom(A,G(B))\mathrm{Hom}(F(A),B)\cong\mathrm{Hom}(A,G(B)) が自然に成り立つ。自由と忘却の関係の一般化。

随伴の定義

定義 随伴関手

関手 F:C→DF:\mathcal C\to\mathcal D と G:D→CG:\mathcal D\to\mathcal C が随伴（FF が左随伴、GG が右随伴、 F⊣GF\dashv G）であるとは、A∈C, B∈DA\in\mathcal C,\ B\in\mathcal D について自然な全単射

HomD(F(A), B) ≅ HomC(A, G(B))\mathrm{Hom}_{\mathcal D}\big(F(A),\,B\big)\ \cong\ \mathrm{Hom}_{\mathcal C}\big(A,\,G(B)\big)

が成り立つこと（両変数について自然）。この対応で移り合う射を随伴転置という。

左が「FF で送ってから射」、右が「射してから GG で送る」。この二つの見方が完全に一致する。F⊣GF\dashv G の 記号は「FF が左、GG が右」を表します（Hom の中で FF が左引数、GG が右引数に立つ）。左随伴と右随伴は 対等でなく役割が違う（次章で左は余極限、右は極限を保存）。

例 随伴の実例

  • 自由 ⊣ 忘却：F:Set→GrpF:\mathbf{Set}\to\mathbf{Grp}（自由群）⊣U\dashv U（忘却）。Hom(F(S),G)≅Hom(S,U(G))\mathrm{Hom}(F(S),G)\cong\mathrm{Hom}(S,U(G))。 自由ベクトル空間・自由モノイド・テンソル代数など、「自由構成」はみな忘却の左随伴。
  • 離散 ⊣ 忘却 ⊣ 密着：Set→Top\mathbf{Set}\to\mathbf{Top} の離散位相（左随伴）と密着位相（右随伴）が忘却を挟む。
  • テンソル ⊣ Hom：−⊗M⊣Hom(M,−)-\otimes M\dashv\mathrm{Hom}(M,-)（加群論）。カリー化の代数版。
  • 積 ⊣ 対角 ⊣ 余積：対角関手 Δ\Delta の右随伴が積、左随伴が余積（第5章の普遍性の言い換え）。
  • 論理：∃⊣\exists\dashv 引き戻し ⊣∀\dashv\forall（量化子は随伴、数理論理学への橋）。

これほど多様な構成が「随伴」の一語に収まる。自由・離散・テンソル・積・量化子——分野も見た目もバラバラな ものが、Hom\mathrm{Hom} の自然な全単射という一つのパターンの現れなのです。

単位と余単位

随伴には、Hom の全単射と同値な、もう一つの記述があります。単位 η\eta と余単位 ε\varepsilon という 二つの自然変換です。こちらの方が計算に便利なことが多い。

定義 単位・余単位

F⊣GF\dashv G に対し、

  • 単位 η:idC⇒G∘F\eta:\mathrm{id}_{\mathcal C}\Rightarrow G\circ F（各 AA で ηA:A→G(F(A))\eta_A:A\to G(F(A))）、
  • 余単位 ε:F∘G⇒idD\varepsilon:F\circ G\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal D}（各 BB で εB:F(G(B))→B\varepsilon_B:F(G(B))\to B）

が定まり、三角恒等式 εF∘Fη=idF\varepsilon_{F}\circ F\eta=\mathrm{id}_F、Gε∘ηG=idGG\varepsilon\circ\eta_G=\mathrm{id}_G をみたす。 逆に、三角恒等式をみたす η,ε\eta,\varepsilon があれば随伴が定まる。

単位 ηA:A→GF(A)\eta_A:A\to GF(A) の意味は「AA を、自由に作って忘却したものへ埋め込む」——自由群の例なら、集合 SS を 自由群 F(S)F(S) の生成元として埋め込む写像 S→U(F(S))S\to U(F(S))。余単位 εB:FG(B)→B\varepsilon_B:FG(B)\to B は逆向きの「評価・ 潰し込み」。GG の値 G(B)G(B) を自由に作り直して BB に戻す。この η,ε\eta,\varepsilon が随伴の“骨組み”です。

注意 単位は普遍性を体現する

単位 ηA:A→GF(A)\eta_A:A\to GF(A) は、実は「AA から GG の像への射のうち最も普遍的なもの」。F(A)F(A) は「AA を含む 最も自由な D\mathcal D の対象」という普遍性をもち、ηA\eta_A がその普遍元。第4章の「普遍性＝補助圏の始対象」の 視点では、ηA\eta_A が始対象そのもの。随伴とは、対象ごとの普遍性が一様に（関手的に）束ねられたもの、と 読める。米田（第7章）・普遍性（第4章）・随伴（本章）が一つの絵に溶け合う。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 左随伴と右随伴は非対称。 F⊣GF\dashv G で FF が左・GG が右。役割が違う（次章：左は余極限、右は極限を保存）。 記号の向きを取り違えない。
  • 随伴は Hom の“自然な”全単射。 単なる全単射でなく、両変数について自然（可換条件つき）。自然性が命。
  • 単位・余単位と Hom 同型は同値な二つの顔。 どちらから定義してもよい。三角恒等式が両者を結ぶ。計算では 単位・余単位が便利なことが多い。
  • 随伴は存在すれば一意。 左随伴は（存在すれば）同型を除いて一意（Hom 同型と米田から）。だから「GG の左随伴」と 言えば一意に定まる。

この章のまとめ

  • 随伴 F⊣GF\dashv G＝Hom 集合の自然な全単射 Hom(F(A),B)≅Hom(A,G(B))\mathrm{Hom}(F(A),B)\cong\mathrm{Hom}(A,G(B))。自由⊣忘却、テンソル⊣Hom、積・余積、量化子など、無数の「対になった構成」を統一。
  • 単位 η:id⇒GF\eta:\mathrm{id}\Rightarrow GF・余単位 ε:FG⇒id\varepsilon:FG\Rightarrow\mathrm{id} と三角恒等式が、Hom 同型と同値なもう一つの記述。単位は普遍性を体現する。
  • 左随伴と右随伴は非対称な役割をもつ。随伴は存在すれば同型を除いて一意。
  • 次章では、随伴の最重要の性質——左随伴は余極限を、右随伴は極限を保存する——を証明し、その威力を見ます。

次章では、随伴関手が極限・余極限をどう保存するか（左随伴は余極限、右随伴は極限）を示し、随伴の力を実感します。