第2章数体と整数環の構造

前章で、代数的整数の全体 $\overline{\mathbb Z}$ が環をなすと分かりました。しかしこれは巨大すぎて扱いにくい。実際の数論では、 $\mathbb Q$ に一つの代数的数（ $\sqrt2$ や $i$ ）を添加した有限次の世界で仕事をします。この章では、その舞台である数体 $K$ と、その中の“整数”を集めた整数環 $\mathcal O_K$ を定義します。そして $\mathcal O_K$ が $\mathbb Z$ 上の自由加群——ちょうど $n$ 本の基底（整基底）を持つ——という、以降のすべての計算が乗る足場を確立します。

数体： $\mathbb Q$ の有限次拡大

定義数体（代数体）

$\mathbb Q$ 上有限次の体拡大 $K$ を数体（代数体）という。 $K=\mathbb Q(\alpha)$ （一つの代数的数 $\alpha$ を添加）の形に書け、拡大次数 $n=[K:\mathbb Q]$ を $K$ の次数という。次数 $2$ の数体を二次体、 $\mathbb Q(\zeta_m)$ （ $1$ の $m$ 乗根）を円分体という。

体論・ガロア理論で学んだように、 $K=\mathbb Q(\alpha)$ は $\alpha$ の最小多項式の次数 $n$ に等しい次元の $\mathbb Q$ ベクトル空間で、 $1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}$ が基底です。もっとも身近な例が二次体 $K=\mathbb Q(\sqrt d)$ （ $d$ は平方因子を持たない整数）。 $\{1,\sqrt d\}$ が $\mathbb Q$ 上の基底で、次数 $2$ 。 $d<0$ なら虚二次体、 $d>0$ なら実二次体と呼び、両者は後で幾何的にも違う顔を見せます（第9章）。

整数環：数体の中の“整数”

数体 $K$ の中で、「整数にあたる元」を集めます。前章の代数的整数 $\overline{\mathbb Z}$ と $K$ の共通部分です。

定義整数環

数体 $K$ に対し、 $K$ に含まれる代数的整数の全体 $\mathcal O_K=\overline{\mathbb Z}\cap K=\{\alpha\in K:\alpha\text{ は代数的整数}\}$ を $K$ の整数環（整数の環）という。前章より $\mathcal O_K$ は環で、その分数体は $K$ に一致する。

$\mathcal O_K$ が $K$ に対して果たす役割は、 $\mathbb Z$ が $\mathbb Q$ に対して果たす役割とちょうど同じ。「 $\mathbb Q$ の中の整数が $\mathbb Z$ 」なら「 $K$ の中の整数が $\mathcal O_K$ 」です。だから以降の数論は、 $K$ ではなく $\mathcal O_K$ の中で（イデアル・素因数分解を）展開します。

落とし穴： $\mathcal O_K$ は $\mathbb Z[\alpha]$ とは限らない

素朴には「 $K=\mathbb Q(\sqrt d)$ の整数環は $\mathbb Z[\sqrt d]=\{a+b\sqrt d:a,b\in\mathbb Z\}$ だろう」と思いますが、これは間違うことがある。前章で見た $\frac{1+\sqrt5}{2}$ （黄金比）は、 $x^2-x-1$ の根なので代数的整数なのに、 $\mathbb Z[\sqrt5]$ には入っていません。 $d\equiv1\pmod4$ のときは、半整数を含むもっと大きな環が正しい整数環です。

定理二次体の整数環

$K=\mathbb Q(\sqrt d)$ （ $d$ は平方因子なし）の整数環は $\mathcal O_K=\begin{cases}\mathbb Z[\sqrt d]=\mathbb Z\oplus\mathbb Z\sqrt d & (d\equiv 2,3\!\!\pmod 4)\\[1mm]\mathbb Z\!\left[\dfrac{1+\sqrt d}{2}\right]=\mathbb Z\oplus\mathbb Z\dfrac{1+\sqrt d}{2} & (d\equiv 1\!\!\pmod 4).\end{cases}$

判定は「 $\frac{a+b\sqrt d}{2}$ が代数的整数になるのはいつか」を最小多項式の係数（トレースとノルム、次章）が整数になる条件で調べれば出ます。教訓は明快——整数環は「見た目の素朴な環」より大きいことがある。このズレを見落とすと後の素因数分解がすべて狂うので、まず正しい $\mathcal O_K$ を突き止めることが第一歩です。

核心： $\mathcal O_K$ は階数 $n$ の自由 $\mathbb Z$ 加群

整数環の構造で決定的に重要なのが、その加群としての形です。 $\mathbb Z$ が「 $1$ 本の基底 $\{1\}$ 」を持つ自由加群であったように、 $\mathcal O_K$ もちょうど $n$ 本の基底を持ちます。

定理整基底の存在

数体 $K$ （次数 $n$ ）の整数環 $\mathcal O_K$ は、 $\mathbb Z$ 上の階数 $n$ の自由加群である。すなわち $\mathcal O_K=\mathbb Z\omega_1\oplus\mathbb Z\omega_2\oplus\cdots\oplus\mathbb Z\omega_n$ となる元 $\omega_1,\dots,\omega_n\in\mathcal O_K$ （整基底）が存在する。 $K$ のすべての元はこれらの $\mathbb Q$ 係数結合で、 $\mathcal O_K$ の元はちょうど $\mathbb Z$ 係数結合で書ける。

証明

（骨子） $\mathcal O_K\subset K$ は次数 $n$ ゆえ $\mathbb Q$ 上 $n$ 次元。まず $\mathcal O_K$ が「 $\mathbb Z^n$ に挟まれる」ことを示す：ある $\mathbb Q$ 基底 $\{e_i\}\subset\mathcal O_K$ をとると、判別式（次章）を使った評価で $\mathcal O_K\subseteq\frac1D\bigoplus\mathbb Z e_i$ （ $D$ は整数）が言え、 $\mathcal O_K$ は有限生成 $\mathbb Z$ 加群で捻れがない。加群論のPID 上有限生成加群の構造定理（ $\mathbb Z$ は PID）より、捻れなし有限生成加群は自由。 $\mathbb Q$ 上の次元が $n$ だから階数も $n$ 。

この定理の威力は絶大です。 $\mathcal O_K$ が「 $n$ 次元の格子」だと分かる——各元が座標 $(a_1,\dots,a_n)\in\mathbb Z^n$ で表せ、たし算は座標の足し算、かけ算は整数行列で書ける。抽象的な“整数の環”が、具体的な格子と行列の言葉で計算できるようになります。第9章の幾何数論（ $\mathcal O_K$ を $\mathbb R^n$ の格子とみる）も、この構造が土台です。

注意つまずきポイント

$\mathcal O_K\neq\mathbb Z[\alpha]$ に注意。 $\alpha$ の選び方や $d\bmod4$ によって、正しい整数環は素朴な環より大きいことがある。半整数 $\frac{1+\sqrt d}{2}$ を忘れない。
「整基底」と「 $\mathbb Q$ 基底」の違い。 $K$ の $\mathbb Q$ 基底は無数にあるが、 $\mathcal O_K$ の $\mathbb Z$ 基底（整基底）は「整数係数でちょうど $\mathcal O_K$ を張る」特別なもの。整基底同士は $\mathrm{GL}_n(\mathbb Z)$ で移り合う。
自由性は $\mathbb Z$ が PID だから。 $\mathcal O_K$ 自身は一般に PID でない（一意分解が壊れる）。あくまで「 $\mathbb Z$ 加群として」自由、という点に注意。この後 $\mathcal O_K$ のイデアルの構造が主役になる。

この章のまとめ

数体 $K$ ＝ $\mathbb Q$ の有限次拡大 $\mathbb Q(\alpha)$ 。二次体 $\mathbb Q(\sqrt d)$ 、円分体 $\mathbb Q(\zeta_m)$ が基本例。
整数環 $\mathcal O_K=\overline{\mathbb Z}\cap K$ 。 $K$ に対する $\mathcal O_K$ は、 $\mathbb Q$ に対する $\mathbb Z$ の役。数論は $\mathcal O_K$ の中で展開する。
$\mathcal O_K$ は $\mathbb Z[\alpha]$ より大きいことがある（ $d\equiv1\bmod4$ の二次体では $\frac{1+\sqrt d}{2}$ を含む）。
整基底の存在： $\mathcal O_K$ は階数 $n$ の自由 $\mathbb Z$ 加群。各元が $\mathbb Z^n$ の座標で表せ、格子と行列で計算できる（PID 上の構造定理より）。

次章は、整基底を具体的に扱う道具——共役・ノルム・トレース・判別式——を整えます。判別式は整基底かどうかの判定や、後の分岐（第7章）を支配する、この分野の基本不変量です。

第2章 数体と整数環の構造

数体：Q\mathbb QQ の有限次拡大