第3章ノルム・トレース・判別式

整数環 $\mathcal O_K$ が格子だと分かったので、その元を数値で測る道具を用意します。中心になるのがノルムと トレース——一つの元を、そのすべての「分身（共役）」を通して測る量です。ノルムは元の“大きさ”をイデアルの理論へ橋渡しし、トレースは判別式を生みます。そして判別式は、整基底かどうかの判定や、後の分岐現象（第7章）を支配する、この分野で最も基本的な不変量です。まずは「共役」から始めましょう。

共役と埋め込み：数の分身たち

$\alpha=\sqrt2$ を考えると、 $x^2-2=0$ の根は $\sqrt2$ と $-\sqrt2$ の二つ。代数の目には、この二つは 見分けがつかない双子です（ガロア理論の精神）。一般に、次数 $n$ の数体 $K=\mathbb Q(\alpha)$ に対し、 $\alpha$ の最小多項式は $n$ 個の根 $\alpha=\alpha_1,\dots,\alpha_n$ （複素数）を持ち、これらが $\alpha$ の共役です。対応して、 $K$ から $\mathbb C$ への体の埋め込み $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ （ $\sigma_i(\alpha)=\alpha_i$ ）がちょうど $n$ 個あります。 $K$ の元 $\beta$ を測るとき、 $\beta$ そのものだけでなく、その $n$ 個の分身 $\sigma_1(\beta),\dots,\sigma_n(\beta)$ を一斉に見るのがコツです。

定義ノルムとトレース

$\beta\in K$ のノルムとトレースを、 $n$ 個の共役の総積・総和で定める： $N_{K/\mathbb Q}(\beta)=\prod_{i=1}^n\sigma_i(\beta),\qquad \mathrm{Tr}_{K/\mathbb Q}(\beta)=\sum_{i=1}^n\sigma_i(\beta).$

分身の対称的な組み合わせなので、個々の共役を選ぶ曖昧さが消え、結果は有理数になります（ $\beta$ が代数的整数なら整数）。ノルムは乗法的（ $N(\beta\gamma)=N(\beta)N(\gamma)$ ）、トレースは加法的（ $\mathrm{Tr}(\beta+\gamma)=\mathrm{Tr}(\beta)+\mathrm{Tr}(\gamma)$ ）——大きさと足し算の情報を、それぞれ一つの数に凝縮します。

行列式・跡としてのノルムとトレース

共役を持ち出さなくても、ノルムとトレースは線形代数で計算できます。 $\beta$ による掛け算 $m_\beta\colon K\to K$ （ $x\mapsto\beta x$ ）は $\mathbb Q$ 線形写像なので、基底を選べば $n\times n$ 行列で表せます。

命題掛け算行列の行列式・跡

$\beta$ の掛け算写像 $m_\beta$ の行列を $M_\beta$ とすると $N_{K/\mathbb Q}(\beta)=\det M_\beta,\qquad \mathrm{Tr}_{K/\mathbb Q}(\beta)=\operatorname{tr}M_\beta.$ $M_\beta$ の固有値がちょうど共役 $\sigma_i(\beta)$ だから、行列式＝固有値の積＝ノルム、跡＝固有値の和＝トレース。

たとえば $K=\mathbb Q(\sqrt d)$ で $\beta=a+b\sqrt d$ 。基底 $\{1,\sqrt d\}$ での掛け算行列は $\begin{pmatrix}a & db\\ b & a\end{pmatrix}$ なので、 $N(\beta)=a^2-db^2$ 、 $\mathrm{Tr}(\beta)=2a$ 。 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ なら $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$ ——第4章で $6$ の分解を調べるのに使う、あのノルムです。 ノルムを取ると、 $\mathcal O_K$ の割り算の問題が普通の整数 $\mathbb Z$ の割り算に落ちる（ $\alpha\mid\beta$ なら $N(\alpha)\mid N(\beta)$ ）。これがノルムの最大の効用です。

判別式：整基底のねじれ具合

トレースを使って、整基底の“質”を測る量を作ります。整基底 $\omega_1,\dots,\omega_n$ に対し、トレースを成分に並べた行列の行列式が判別式です。

定義判別式

整基底 $\{\omega_1,\dots,\omega_n\}$ の判別式を $d_K=\det\big(\mathrm{Tr}_{K/\mathbb Q}(\omega_i\omega_j)\big)_{i,j}=\det\big(\sigma_i(\omega_j)\big)^2$ で定める。二つ目の等号は、埋め込み行列 $(\sigma_i(\omega_j))$ の行列式の二乗に等しいこと（グラム行列の関係）。 $d_K$ は整基底の選び方によらず $K$ だけで決まる整数で、 $K$ の基本不変量。

判別式は「格子 $\mathcal O_K$ がどれだけ“歪んで/詰まって”いるか」を測ります。埋め込みで $\mathcal O_K$ を $\mathbb R^n$ の格子とみたとき（第9章）、 $\sqrt{|d_K|}$ がその基本領域の体積にあたる——つまり判別式は格子の 体積の二乗の役を果たします。二次体 $\mathbb Q(\sqrt d)$ なら $d_K=\begin{cases}d & (d\equiv1\!\!\pmod4)\\ 4d & (d\equiv2,3\!\!\pmod4),\end{cases}$ で、 $d\equiv1$ のとき整数環が大きくなった（第2章）ぶん、判別式が小さくなっているのが読み取れます。

判別式の二つの仕事

判別式は、この後の議論で二つの決定的な役割を果たします。先取りして意識しておきましょう。

注意判別式が支配するもの

整基底の判定：候補の基底 $\{\eta_i\}$ の判別式が $\mathcal O_K$ の判別式 $d_K$ に一致すれば整基底。一般に $\mathrm{disc}(\eta)=[\mathcal O_K:\bigoplus\mathbb Z\eta_i]^2\cdot d_K$ （指数の二乗ぶんずれる）。判別式が平方因子を持たなければ、その基底は自動的に整基底。
分岐の判定：素数 $p$ が $\mathcal O_K$ で「分岐する」（重複を持って分解する） $\Leftrightarrow$ $p\mid d_K$ （第7章）。判別式を割る有限個の素数だけが分岐する。判別式は分岐の在り処を教える地図。

「元を測るノルム・トレース」と「格子を測る判別式」——この三つの不変量が、代数的整数論の計算の土台です。とくに判別式は、体 $K$ の“難しさ”を一つの整数に凝縮した指標で、この後あらゆる場面に顔を出します。

注意つまずきポイント

ノルムは乗法的、トレースは加法的。 $N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)$ が「割り算を $\mathbb Z$ に落とす」効用の源。トレースは $\mathbb Q$ 双線形形式 $\mathrm{Tr}(xy)$ を通じて判別式を生む。
判別式は基底に依らない不変量。整基底同士は $\mathrm{GL}_n(\mathbb Z)$ （行列式 $\pm1$ ）で移り合うので、行列式の二乗である判別式は不変。一般の基底では指数の二乗ぶんずれる。
符号にも意味がある（数体の判別式）。実埋め込みと複素埋め込みの個数（第9章の $r_1,r_2$ ）で $d_K$ の符号が決まる。ここでは絶対値 $|d_K|$ ＝格子体積の二乗として捉えれば十分。

この章のまとめ

$K=\mathbb Q(\alpha)$ の元は $n$ 個の共役（埋め込み $\sigma_i$ ）を持つ。ノルム＝共役の総積（乗法的）、 トレース＝共役の総和（加法的）。
ノルム・トレースは掛け算写像 $m_\beta$ の行列式・跡として計算できる。 $\mathbb Q(\sqrt d)$ では $N(a+b\sqrt d)=a^2-db^2$ 。ノルムは $\mathcal O_K$ の割り算を $\mathbb Z$ の割り算に落とす。
判別式 $d_K=\det(\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j))$ ＝格子 $\mathcal O_K$ の体積の二乗。整基底の判定と、素数の分岐（ $p\mid d_K$ ）を支配する基本不変量。

道具が揃いました。次章はいよいよ本題——整数環で素因数分解の一意性が壊れる現象を、 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ の $6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ で目の当たりにします。ノルムが、その破れを見抜く道具になります。

第3章 ノルム・トレース・判別式