第4章一意分解の破れ

いよいよこの分野の中心的な事件に踏み込みます。普通の整数 $\mathbb Z$ では、どんな数も素数の積にただ一通りに分解できました（素因数分解の一意性、算術の基本定理）。ところが整数環 $\mathcal O_K$ に移ると、この宝物が壊れることがある。最も有名な例、 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ で $6$ が二通りに分解する現象を、ノルムを使って正確に解剖しましょう。「どこで、なぜ壊れるのか」を突き止めることが、次章以降の救済策への入り口です。

事件： $6$ の二通りの分解

$K=\mathbb Q(\sqrt{-5})$ の整数環は $\mathcal O_K=\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ （ $-5\equiv3\bmod4$ なので第2章の素朴な形）。ここで $6$ を分解すると、 $6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}).$ 右の二つが本当に等しいかは、 $(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})=1-(-5)=6$ で確認できます。問題は、これが単なる「並べ替え」ではなく、本質的に異なる二つの分解だということ。 $\mathbb Z$ なら $12=2\cdot6=3\cdot4$ も、さらに分解すれば同じ $2^2\cdot3$ に行き着きました。ところが $2,3,1+\sqrt{-5},1-\sqrt{-5}$ は、これ以上分解できない（既約）のに、互いに移り合わない——ここが決定的に違います。

ノルムで「既約」を見抜く

「これ以上分解できない」を、前章のノルム $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$ で確かめます。ノルムは乗法的（ $N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)$ ）なので、 $\alpha$ が分解 $\alpha=\beta\gamma$ を持てば $N(\alpha)=N(\beta)N(\gamma)$ 。だから「ノルムがそれ以上うまく分けられない」なら既約です。

まず各元のノルムを計算： $N(2)=4$ 、 $N(3)=9$ 、 $N(1\pm\sqrt{-5})=1+5=6$ 。次に、ノルムが $2$ や $3$ の元が存在するかを調べます。 $a^2+5b^2=2$ や $=3$ には整数解がありません（ $b=0$ なら $a^2=2,3$ で不可、 $b\neq0$ なら $5b^2\ge5>3$ ）。つまり $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ にはノルム $2$ や $3$ の元が一つもない。

命題 4元はすべて既約

$2,3,1+\sqrt{-5},1-\sqrt{-5}$ はいずれも $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ で既約（単元でない真の積に分けられない）。

証明

$2=\beta\gamma$ （ともに非単元）なら $4=N(2)=N(\beta)N(\gamma)$ 。非単元は $N\ge2$ なので $N(\beta)=N(\gamma)=2$ が必要だが、ノルム $2$ の元は存在しない。よって $2$ は既約。 $3$ （ $N=9$ 、ノルム $3$ の元なし）、 $1\pm\sqrt{-5}$ （ $N=6=2\cdot3$ 、ノルム $2$ も $3$ の元もなし）も同様に既約。単元は $N=1$ の元、すなわち $\pm1$ のみ。

これで、 $6$ の二つの分解はどちらも「既約元への分解」であり、しかも登場する既約元 $\{2,3\}$ と $\{1+\sqrt{-5},1-\sqrt{-5}\}$ は互いに単元倍でない（ノルムが $4,9$ 対 $6,6$ で違う）。だから本当に異なる分解——一意性が壊れています。下の装置で、この状況を目で確かめましょう（上段の「数」の分解）。

破れの正体：「既約」と「素」がずれる

なぜ一意性が壊れたのか。犯人は、 $\mathbb Z$ では一致していた二つの概念——既約と素——が、 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ ではずれることです。環論で学んだ区別を思い出します。

定義既約元と素元

非単元 $p\neq0$ が

既約元： $p=ab$ なら $a$ か $b$ が単元（これ以上分けられない）。
素元： $p\mid ab$ なら $p\mid a$ または $p\mid b$ （積を割れば因子のどちらかを割る）。

一般に「素 ⇒ 既約」は常に成り立つが、「既約 ⇒ 素」は成り立つとは限らない。両者が一致する環が UFD。

$\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ で $2$ は既約でしたが、素ではありません。実際 $2\mid 6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ なのに、 $2\nmid(1+\sqrt{-5})$ かつ $2\nmid(1-\sqrt{-5})$ （ $\frac{1\pm\sqrt{-5}}{2}$ は $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ に入らない）。「積は割るのに、どちらの因子も割らない」——これが素でないということ。素因数分解の一意性の証明は、まさに「既約元が素元でもある」ことに依っていました（ユークリッドの補題）。この橋が落ちたので、一意性も崩れたのです。

注意なぜ一意性の証明が破れるか

$\mathbb Z$ での一意性の証明の心臓は「 $p$ が既約なら素」（ $p\mid ab\Rightarrow p\mid a$ or $p\mid b$ ）。二通りの分解 $p_1\cdots p_r=q_1\cdots q_s$ があっても、 $p_1$ が素だからどれかの $q_j$ を割り、順に消し込める。 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ では既約 $2$ が素でないので、この消し込みができない。既約と素のずれこそ、一意分解が壊れる一点。

救済への伏線：フェルマーのつまずきと、イデアルの予感

歴史的に、この破れは深刻な事件でした。フェルマーの最終定理 $x^n+y^n=z^n$ への素朴な攻略は、 $x^n+y^n$ を円分体 $\mathbb Q(\zeta_n)$ で一次式の積に分解し、一意性を使って矛盾を導く、というもの。ところが $\mathbb Q(\zeta_n)$ の整数環でも一意分解が壊れるため、この論法は穴だらけでした。クンマーはこの穴を埋めるため、「理想の数（ideal number）」という概念を編み出します——これが後のイデアルです。

救済の発想は、下の装置の下段が予告しています。既約元 $2$ が素でないなら、 $2$ をさらに細かい何かに割ればよい。 $\mathcal O_K$ の中の“数”では割れないが、イデアル（数の集合）としてなら $(2)$ をより小さな素イデアル $\mathfrak p_1$ の二乗 $(2)=\mathfrak p_1^2$ に割れる。そうやって全員を「本当に素なもの（素イデアル）」まで分解すると、二通りだった $6$ の分解が同じ素イデアル分解に収束する——次章以降で、この奇跡を厳密に組み立てます。

注意つまずきポイント

「二通りの分解」の意味。単なる並べ替えや単元倍ではなく、既約元の集合そのものが違う。ノルムが違う（ $4,9$ 対 $6,6$ ）ので単元倍でも移り合わない、が決め手。
既約 ≠ 素がすべての原因。 $\mathbb Z$ や PID・UFD では一致するが、一般の $\mathcal O_K$ ではずれる。破れを「既約と素のギャップ」として理解すると、救済（素イデアル）の狙いが見える。
$\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ は正しい整数環（ $-5\equiv3\bmod4$ ）。素朴な環が整数環と食い違う $d\equiv1$ の場合（第2章）と混同しない。ここでの破れは整数環そのものの性質。

この章のまとめ

$\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ で $6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ 。ノルム $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$ で、四つの元がすべて既約（ノルム $2,3$ の元が存在しない）と分かる。
二つの分解は単元倍で移り合わず、素因数分解の一意性が壊れている。
破れの正体は**「既約 ≠ 素」**。 $2$ は既約だが $2\mid6$ なのに $2\nmid(1\pm\sqrt{-5})$ ——素でない。一意性の証明はユークリッドの補題（既約＝素）に依っていたので崩れる。
救済の予感：数で割れないならイデアルで割る。 $(2)=\mathfrak p_1^2$ のように素イデアルへ分ければ、二つの分解が一つに収束する（次章以降）。

次章は、なぜ $\mathcal O_K$ では「イデアルの素イデアル分解」がうまくいくのか——その構造的な理由である デデキント環（三つの条件）を明らかにします。整数環が持つ特別な性質が、失われた一意性を蘇らせる鍵です。