⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第3章 第一積分と保存則

オイラー–ラグランジュ方程式は一般に二階の微分方程式で、そのままでは解きにくいことが多い。ところが、 ラグランジアン L(x,y,y′)L(x,y,y') が三つの変数のうちどれかをあらわに含まないとき、方程式は一気に一階へ落ちて 解きやすくなります。この「一階に落ちて得られる保存量」を第一積分といいます。そして——ここが 美しいところですが——それは物理でいう運動量保存やエネルギー保存と同じもの。変分法と保存則は、 最初から一つのものだったのです。

場合1：LL が yy を含まない → 運動量保存

まず、ラグランジアンに yy そのものが現れず、L=L(x,y′)L=L(x,y') の形のときを考えます。E–L 方程式の第一項 ∂L∂y\frac{\partial L}{\partial y} が 00 になるので、方程式は ∂L∂y−ddx∂L∂y′=0 ⟹ ddx∂L∂y′=0 ⟹ ∂L∂y′=定数.\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0\ \Longrightarrow\ \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0\ \Longrightarrow\ \frac{\partial L}{\partial y'}=\text{定数}. 二階の方程式が、いきなり「∂L∂y′\frac{\partial L}{\partial y'} が一定」という一階の関係になりました。

定義 共役運動量・保存量（y を含まない場合）

p:=∂L∂y′p:=\dfrac{\partial L}{\partial y'} を共役運動量という。LL が yy を含まなければ pp は xx に よらず一定（保存する）。

前章の最短経路 L=1+y′2L=\sqrt{1+y'^2} はこの例でした。yy を含まないので p=y′1+y′2=p=\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}= 一定、 これから y′=y'= 一定、直線。物理では、LL が座標 yy を含まない（＝その方向にずらしても系が変わらない、 並進対称性）とき、その方向の運動量が保存する——という事実に対応します。「対称性 → 保存則」の最初の顔です （一般形は第8章のネーターの定理）。

場合2：LL が xx を含まない → エネルギー保存（ベルトラミ）

次が本命です。ラグランジアンに独立変数 xx があらわに現れず、L=L(y,y′)L=L(y,y') の形のとき。実は多くの幾何・物理の 問題（最速降下線・懸垂線・測地線）がこの型で、決定的に役立ちます。

定理 ベルトラミの公式

LL が xx をあらわに含まない（L=L(y,y′)L=L(y,y')）とき、オイラー–ラグランジュ方程式の解は  L−y′ ∂L∂y′=定数 \boxed{\ L-y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}=\text{定数}\ } を満たす。これをベルトラミの公式（の第一積分）という。二階の E–L が一階の関係に落ちる。

証明

左辺 H:=L−y′∂L∂y′H:=L-y'\dfrac{\partial L}{\partial y'} を xx で全微分する： dHdx=dLdx−y′′∂L∂y′−y′ddx∂L∂y′.\frac{dH}{dx}=\frac{dL}{dx}-y''\frac{\partial L}{\partial y'}-y'\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}. ここで L=L(y,y′)L=L(y,y')（xx を含まない）なので連鎖律で dLdx=∂L∂yy′+∂L∂y′y′′\frac{dL}{dx}=\frac{\partial L}{\partial y}y'+\frac{\partial L}{\partial y'}y''。代入して y′′∂L∂y′y''\frac{\partial L}{\partial y'} が 打ち消し合い、 dHdx=y′(∂L∂y−ddx∂L∂y′)=0.\frac{dH}{dx}=y'\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}\right)=0. 括弧の中はまさに E–L 方程式で 00。ゆえに HH は一定。

証明の心は「HH を微分すると、中から E–L 方程式が現れて消える」。だから E–L の解に沿って HH は保存する。 この H=L−y′∂L∂y′H=L-y'\frac{\partial L}{\partial y'} は、物理ではハミルトニアン（＝エネルギー）の符号違い。 LL が時間（＝ここでの xx）を含まない、すなわち系が時間並進について対称なとき、エネルギーが保存する—— という物理の根本法則が、変分法の計算からそのまま出てきます。

なぜ「一階に落ちる」がありがたいのか

二階の常微分方程式を解くのは一般に難しいですが、一階の関係 H(y,y′)=CH(y,y')=C が得られれば、これは y′y' について 解いて y′=Φ(y,C) ⟹ ∫dyΦ(y,C)=x+C′y'=\Phi(y,C)\ \Longrightarrow\ \int\frac{dy}{\Phi(y,C)}=x+C' と変数分離で積分に持ち込めます。二階を解く代わりに、保存量を使って一階に落とし、あとは積分するだけ。 次章の最速降下線・懸垂線は、まさにこのベルトラミの公式で一階に落として解きます。「保存量を見つけて位数を 下げる」——微分方程式を解く王道の戦略が、変分問題でも主力になるのです。

注意 ミニ確認：どちらの近道が使えるか

ラグランジアンを見たら、まず「xx を含むか」「yy を含むか」をチェック。

  • yy を含まない（L=L(x,y′)L=L(x,y')）→ ∂L∂y′=\frac{\partial L}{\partial y'}= 定数（運動量保存）。
  • xx を含まない（L=L(y,y′)L=L(y,y')）→ L−y′∂L∂y′=L-y'\frac{\partial L}{\partial y'}= 定数（ベルトラミ／エネルギー保存）。
  • 両方含まない（L=L(y′)L=L(y')）→ どちらも使え、y′=y'= 定数（直線）。 最速降下線 L=1+y′22gyL=\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}} は xx を含まない → ベルトラミ。懸垂線 L=y1+y′2L=y\sqrt{1+y'^2} も同様。

注意 つまずきポイント

  • 「あらわに含まない」の意味。L=L(y,y′)L=L(y,y') は xx が式に直接現れないという意味。もちろん y=y(x)y=y(x) を通じて 間接的には xx に依存する。保存するのは「xx で全微分すると 00」という意味での HH。
  • 符号とハミルトニアン。H=L−y′∂L∂y′H=L-y'\frac{\partial L}{\partial y'} は物理のハミルトニアン H=pq˙−LH=p\dot q-L の 符号を反転したもの。分野により符号の流儀が違うので、保存する量の「形」を覚えるのが実用的。
  • 第一積分は「解の一部」。H=CH=C は一階の関係で、まだ積分定数 CC と C′C' の二つ分の自由度を残す （二階 ODE の一般解は定数二つ）。端点条件でこれらを決める。

この章のまとめ

  • ラグランジアンが変数を欠くと、E–L 方程式は一階の**第一積分（保存量）**に落ちる。
  • LL が yy を含まない → 共役運動量 ∂L∂y′=\frac{\partial L}{\partial y'}= 定数（運動量保存、並進対称性）。
  • LL が xx を含まない → ベルトラミの公式 L−y′∂L∂y′=L-y'\frac{\partial L}{\partial y'}= 定数（エネルギー保存、 時間並進対称性）。証明は「HH を微分すると E–L が現れて消える」。
  • 一階に落ちれば変数分離で積分でき、二階 ODE を直接解かずに済む。「対称性 → 保存則」の芽（第8章で一般化）。

道具が揃いました。次章は変分法の華、最速降下線（ブラキストクロン）と懸垂線。ベルトラミの公式で一階に落とし、 サイクロイドと双曲線余弦という美しい答えを実際に導きます。