第4章 最速降下線と懸垂線

道具が揃いました。この章では、変分法が歴史的に生まれるきっかけとなった二つの名高い問題を、実際に解きます。 最速降下線（ブラキストクロン）——重力の下でビーズが最も速く滑り降りる曲線と、懸垂線（カテナリー）—— 鎖が両端を持たれて自重で垂れる形。どちらもベルトラミの公式（前章）で一階に落として解けます。まずは 「最短の道は最速ではない」という、直感を裏切る事実をレースで見てみましょう。

最速降下線：最短の道は最速ではない

1696 年、ヨハン・ベルヌーイが挑戦状として出した問題です。「2点 A, B を、重力だけで滑り降りるビーズが最短 時間で到達する曲線は？」多くの人は「まっすぐ（直線）が最短だから最速だろう」と思います。下の装置で、 本当にそうか競走させてみましょう。

直線は最短経路なのに、いちばん遅い。勝つのは、最初に急降下して速度を稼ぎ、なめらかに到達する サイクロイド。なぜでしょう。速さは深さで決まる（$v=\sqrt{2gy}$）ので、早く深く潜れば早く速くなる。でも 潜りすぎれば道が長くなる。この綱引きの最適点を、変分法が正確に射止めます。では導きましょう。

サイクロイドを導く

降下時間の汎関数は、速さ $v=\sqrt{2gy}$（$y$ は下向きの深さ、A を原点）を使って $J[y]=\int\frac{ds}{v}=\int_0^{x_1}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}\,dx,\qquad L=\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}.$ ラグランジアン $L$ は $x$ をあらわに含みません。ベルトラミの公式 $L-y'\frac{\partial L}{\partial y'}=$ 定数 の 出番です。計算すると（$\frac{\partial L}{\partial y'}=\frac{y'}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y'^2}}$）、 $L-y'\frac{\partial L}{\partial y'}=\frac{1}{\sqrt{2gy}\,\sqrt{1+y'^2}}=\text{定数}.$ 整理すると $y(1+y'^2)=C$（定数）という一階の関係が得られます。ここで角度 $\theta$ を媒介変数に導入して $y'=\cot(\theta/2)$ と置くと、$y=\frac{C}{1+y'^2}=C\sin^2(\theta/2)=\frac{C}{2}(1-\cos\theta)$ となり、 $dx=\frac{dy}{y'}$ を積分して $x=\frac{C}{2}(\theta-\sin\theta),\qquad y=\frac{C}{2}(1-\cos\theta).$

「最も速い滑り台は、円が転がって描く曲線」——予想もしない答えです。装置のサイクロイドは、この式を B に 合わせて描いたもの。直線（最短）に勝つ理由は、A の直後で接線が垂直になり、真っ先に落ちて速度を稼ぐから。 「急がば深く潜れ」を数学が精密化した形です。

懸垂線：鎖はどんな形に垂れるか

もう一つの古典。両端を固定して垂らした鎖（あるいはネックレス）は、どんな曲線を描くか。ガリレオは放物線だと 考えましたが、正解は違います。原理は「鎖は位置エネルギーを最小にする形で静止する」。線密度一定の鎖の 位置エネルギーは、高さ $y$ を重みにした $\int y\,ds$ に比例するので、 $J[y]=\int y\sqrt{1+y'^2}\,dx,\qquad L=y\sqrt{1+y'^2}$ を、長さ一定の拘束のもとで最小化します（拘束の扱いは第6章で厳密化しますが、ここでは有効ラグランジアンが 同じ型 $y\sqrt{1+y'^2}$ になるとだけ述べます）。これも $x$ を含まないのでベルトラミ。 $L-y'\frac{\partial L}{\partial y'}=\frac{y}{\sqrt{1+y'^2}}=\text{定数}\ (=a).$ $y=a\sqrt{1+y'^2}$ を $y'$ について解くと $y'=\sqrt{(y/a)^2-1}$、変数分離で積分して

放物線に似ていますが別物。$\cosh$ は指数関数の和で、両端に近いほど急に立ち上がります。アーチ橋を上下反転 させた形（逆さ懸垂線）が最も安定なアーチになるのも、この最小エネルギー性の帰結です。

二つの問題に共通する型

最速降下線も懸垂線も、$x$ を含まないラグランジアンをベルトラミで一階に落とし、媒介変数か変数分離で積分する、 という同じ型で解けました。これが古典的変分問題の標準的な解き筋です。

この章のまとめ

• 最速降下線：降下時間 $\int\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}dx$ をベルトラミで解くとサイクロイド。 最短の直線ではなく、急降下して速度を稼ぐ転がり円の曲線が最速。
• 懸垂線：位置エネルギー $\int y\sqrt{1+y'^2}dx$ を（長さ一定で）最小化するとカテナリー $y=a\cosh(x/a)$。 放物線ではなく双曲線余弦。
• 両者とも「$x$ を含まない → ベルトラミで一階に落とす → 積分 → 端点で定数決定」という共通の型で解ける。

次章は、未知関数が一つでない場合・高階微分がある場合へE–L を拡張し、測地線（曲面上の最短経路）を導きます。 変分法が幾何と本格的に出会う章です。