⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第5章 測地線・多変数・高階

ここまで、未知は一つの関数 y(x)y(x)、微分は一階 y′y' でした。しかし現実の変分問題は、複数の関数を同時に動かしたり （曲線の x(t),y(t),z(t)x(t),y(t),z(t)）、高階の微分を含んだり（曲げエネルギーは y′′y''）します。この章では、オイラー–ラグランジュ 方程式をこれらの場合へ拡張します。そしてその応用として、曲面や曲がった空間の上での最短経路——測地線——の 方程式を導きます。変分法が微分幾何・リーマン幾何と正面から 出会う章です。

複数の未知関数：成分ごとに E–L

曲線を y(x)=(y1(x),…,yn(x))\mathbf y(x)=(y_1(x),\dots,y_n(x)) とベクトルで表し、ラグランジアン L(x,y,y′)L(x,\mathbf y,\mathbf y') の汎関数を 考えます。第一変分を取るとき、各成分を独立に yi+εηiy_i+\varepsilon\eta_i と揺らせます。揺らし ηi\eta_i は互いに独立に 選べるので、変分法の基本補題を成分ごとに適用できます。

定理 オイラー–ラグランジュ系（多変数）

J[y]=∫abL(x,y,y′) dxJ[\mathbf y]=\int_a^b L(x,\mathbf y,\mathbf y')\,dx の極値は、各 i=1,…,ni=1,\dots,n について ∂L∂yi−ddx∂L∂yi′=0\frac{\partial L}{\partial y_i}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y_i'}=0 を満たす。未知関数の数だけ E–L 方程式が並ぶ連立系になる。

考え方は一変数と全く同じ。「y1y_1 だけを揺らし、他を固定」すれば y1y_1 の E–L が、「y2y_2 だけ揺らす」で y2y_2 の E–L が出る。方向が増えただけで、各方向では前と同じ論法です。これで空間曲線や、複数の物体が絡む力学系 （第8章）を扱えます。

高階微分：部分積分を繰り返す

曲げエネルギー ∫y′′2 dx\int y''^2\,dx（弾性棒のたわみ）のように、ラグランジアンが二階微分 y′′y'' を含む場合はどうか。 第一変分に η′′\eta'' が現れるので、部分積分を二回行って η\eta にそろえます。端点で η\eta と η′\eta' の両方が 消えると約束すれば境界項が消え、次が出ます。

定理 オイラー–ポアソン方程式（高階）

L(x,y,y′,y′′)L(x,y,y',y'') の汎関数の極値は ∂L∂y−ddx∂L∂y′+d2dx2∂L∂y′′=0\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}+\frac{d^2}{dx^2}\frac{\partial L}{\partial y''}=0 を満たす。kk 階まで含むなら符号を交互に ∑j=0k(−1)jdjdxj∂L∂y(j)=0\sum_{j=0}^{k}(-1)^j\frac{d^j}{dx^j}\frac{\partial L}{\partial y^{(j)}}=0。 部分積分を階数だけ繰り返すと、符号 (−1)j(-1)^j が交互に現れる。

弾性棒のたわみ ∫(y′′2−fy) dx\int(y''^2-fy)\,dx を最小化すると、d2dx2(2y′′)−(−f)=0\frac{d^2}{dx^2}(2y'')-(-f)=0 すなわち y′′′′=12fy''''=\tfrac12 f—— たわみを支配する四階の梁方程式が変分から出ます。原理は変わらず「部分積分で微分を η\eta から追い出す」だけ。

測地線：曲がった空間の「まっすぐ」

いよいよ幾何への応用です。曲面や曲がった空間の上で、2点を結ぶ最短経路を求めたい。リーマン幾何で 学んだように、曲がった空間では各点で長さの測り方（計量 gijg_{ij}）が変わり、経路 y(t)\mathbf y(t) の長さは J[y]=∫ab∑i,jgij(y) yi′ yj′  dtJ[\mathbf y]=\int_a^b\sqrt{\textstyle\sum_{i,j}g_{ij}(\mathbf y)\,y_i'\,y_j'}\ \,dt で測られます。この汎関数を最小化する経路が測地線——曲がった空間における「まっすぐな線」です。

長さの汎関数は平方根があって扱いにくいので、実用上はエネルギー汎関数 E[y]=12∫∑gijyi′yj′ dtE[\mathbf y]=\frac12\int\sum g_{ij}y_i'y_j'\,dt を 使います（同じ測地線を与え、平方根が消えて計算が楽）。これに多変数の E–L 系を適用すると、測地線方程式が出ます。

定理 測地線方程式

計量 gijg_{ij} の空間の測地線は d2ykdt2+∑i,jΓijk dyidtdyjdt=0\frac{d^2 y^k}{dt^2}+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}\,\frac{dy^i}{dt}\frac{dy^j}{dt}=0 を満たす。Γijk\Gamma^k_{ij} は計量から作られるクリストッフェル記号（gijg_{ij} の一階微分の組み合わせ）。

第二項がなければ「加速度 00＝等速直線運動」で、平面のまっすぐな線。クリストッフェル記号の項は、空間の 曲がりを補正して「その空間なりのまっすぐ」を定義します。球面ならこの方程式の解は大円（赤道や経線）—— 地球上の最短経路が大円になる理由が、変分から導かれます。リーマン幾何ではこの方程式を 共変微分 ∇γ˙γ˙=0\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0（自己平行）として幾何的に導きましたが、変分法からは「長さ最小」という 別ルートで同じ方程式に到達する。二つの視点が一つの方程式で握手します。

注意 なぜ長さでなくエネルギーを最小化するのか

長さ汎関数はパラメータの取り替え（同じ道を速く/遅くたどる）で値が変わらない——自由度が多すぎて E–L が 退化気味になる。エネルギー汎関数を使うと、最小点は自動的に等速パラメータ（弧長比例）になり、方程式が すっきりする。長さの臨界点とエネルギーの臨界点（等速のもの）は同じ道を与えるので、幾何的な結論は変わらない。

注意 つまずきポイント

  • 連立 E–L は「成分ごと」。各未知関数に一本ずつ方程式が対応。揺らしを成分独立に選べることが根拠。
  • 高階の符号は交互。(−1)j(-1)^j の交代は、部分積分を jj 回するたびに符号が反転することの反映。覚えるより 「部分積分の回数分だけ符号が入れ替わる」と理解する。
  • 測地線＝二つの定義の一致。「長さ最小（変分）」と「まっすぐ＝自己平行（幾何）」は同じ測地線方程式を 与える。曲がった空間の直線を、外から（幾何）と最適化から（変分）両方向で捉えられる。

この章のまとめ

  • 多変数：未知関数が複数なら、各成分に E–L が一本ずつ立つ連立系（揺らしを成分独立に取れるから）。
  • 高階：y′′y'' 以上を含むなら部分積分を繰り返し、符号 (−1)j(-1)^j が交互に並ぶオイラー–ポアソン方程式。 弾性棒 → 四階の梁方程式。
  • 測地線：曲がった空間の最短経路は、長さ（実用上はエネルギー）汎関数の E–L から測地線方程式 y¨k+Γijky˙iy˙j=0\ddot y^k+\Gamma^k_{ij}\dot y^i\dot y^j=0。球面なら大円。変分と微分幾何が同じ方程式で出会う。

次章は、「長さ一定」「体積一定」のような拘束条件つきの変分問題を扱います。等周問題——周の長さが決まった とき面積を最大にする形は円——を、ラグランジュ乗数の変分版で解きます。