第6章 拘束条件つき変分

現実の最適化には、たいてい条件が付きます。「与えられた長さのひもで囲める最大の面積は？」「体積一定で表面積 最小の容器は？」——最適化と拘束が同居する問題です。微分積分学では、条件つき最小化を ラグランジュ乗数法で解きました。この章では、その発想を関数の世界へ持ち上げます。すると変分法でも 「乗数を一つ足すだけ」で拘束を扱え、有名な等周問題——周が決まれば面積最大の形は円——が解けます。

復習：有限次元のラグランジュ乗数

まず数の世界を思い出します。制約 $g(\mathbf x)=0$ のもとで $f(\mathbf x)$ を最小化するとき、最適点では $\nabla f=\lambda\nabla g$（勾配が平行）が成り立つ——これがラグランジュ乗数法でした。等価な言い方は、 補助関数 $f-\lambda g$ を作り、それを（乗数 $\lambda$ も未知として）無制約に停留化すること。「制約の勾配方向には 動けないので、その方向の $f$ の変化は打ち消してよい」という幾何が根っこにあります。同じ幾何を、変分に持ち込みます。

等周問題：拘束つきの汎関数

典型例で組み立てます。等周問題：長さ $\ell$ の閉曲線で囲める面積を最大にせよ。閉曲線を $(x(t),y(t))$ とすると、囲む面積と周長は $A[x,y]=\frac12\oint(x\,y'-y\,x')\,dt\quad(\text{最大化したい}),\qquad P[x,y]=\oint\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt=\ell\quad(\text{拘束}).$ 「$P=\ell$ という条件つきで $A$ を最大化」。これは汎関数版の条件つき最適化です。等周拘束 （積分で表される拘束）と呼ばれるこの型を、乗数で処理します。

考え方は有限次元と同じ。「拘束を保つ揺らし」だけを許すと扱いにくいので、乗数 $\lambda$ を導入して $J-\lambda(\text{拘束})$ を無制約で停留化する。すると許される揺らしの一次の効果がちょうど打ち消し合い、 拘束つき停留の条件に一致します。「拘束は乗数を一つ足して吸収する」——公式としてはこれだけです。

円が答え：等周問題を解く

等周問題に適用します。面積 $A$ を最大化、周長 $P$ を拘束。補助汎関数は $A-\lambda P$。これに $x,y$ 両方の E–L を立てて整理すると（計算は少し込み入りますが）、曲線の曲率が一定であるという条件に帰着します。 平面で曲率が一定の閉曲線は——円だけ。

シャボン玉が球になるのも同じ原理の三次元版（体積一定で表面積最小＝球）。自然が「与えられた材料で最大の 中身」を選ぶとき、答えはいつも最も対称な形になる——その背後に、乗数つき変分の停留条件があります。

二種類の拘束：積分型と各点型

拘束には二つのタイプがあり、乗数の姿が変わります。区別しておきましょう。

• 積分型拘束（等周型）：$\int G\,dx=$ 一定 のように、全体で一つの条件。乗数 $\lambda$ は定数一つ。 等周問題・懸垂線（長さ一定）がこれ。
• 各点型拘束（ホロノミック）：$G(x,y,z)=0$ が各点で成り立つ（例：曲面上に拘束された運動）。この場合、 乗数は各点ごとに違ってよく、関数 $\lambda(x)$ になる。曲面上の測地線や束縛された力学系がこれ。

この章のまとめ

• 拘束つき変分は、ラグランジュ乗数を導入して補助ラグランジアン $L-\lambda G$ を無制約で停留化すれば解ける （有限次元の乗数法の関数版）。
• 等周問題（周一定で面積最大）→ 曲率一定 → 円。等周不等式 $A\le\ell^2/4\pi$、等号は円。三次元版は球。
• 拘束は積分型（乗数は定数）と各点型（乗数は関数）に分かれる。懸垂線は積分型で、乗数は原点の高さを ずらすだけ。

次章は、これまで固定してきた端点を自由にするとどうなるかを考えます。端が動ける問題では、E–L 方程式に 加えて端点で成り立つべき条件（横断性条件・自然境界条件）が現れます。