第7章 横断性条件と自由端

これまで、曲線の両端 $y(a),y(b)$ はいつも固定していました。だから揺らし $\eta$ は端点で $0$、部分積分の境界項も きれいに消えました。でも「端がどこに来てもよい」問題もあります。棒の一端が自由に動ける、光線の到達点が ある曲線上ならどこでもよい——そんなとき、消えていた境界項が復活し、そこから端点で成り立つべき新しい条件が 生まれます。この章では、境界項こそが端点の情報を語ることを見ます。

境界項を捨てない

第一変分の計算をもう一度、境界項を残したまま書きます。$J[y]=\int_a^b L(x,y,y')\,dx$ の第一変分は部分積分で $\delta J[y;\eta]=\underbrace{\left[\frac{\partial L}{\partial y'}\,\eta\right]_a^b}_{\text{境界項}}+\int_a^b\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\eta\,dx.$ 端点を固定した問題では $\eta(a)=\eta(b)=0$ なので境界項が消え、残る積分から E–L 方程式が出ました。しかし端点が 自由なら、$\eta$ は端点で $0$ とは限らない。すると停留条件「すべての許される $\eta$ で $\delta J=0$」を満たすには、 積分項が $0$（＝ E–L 方程式）に加えて、境界項も $0$ でなければなりません。境界項の消え方が、端点の条件を与えます。

自由端：自然境界条件

いちばん単純なのは、端点 $x=b$ での $y$ の値を自由にする場合（棒の右端がどの高さでもよい）。このとき $\eta(b)$ は 任意に取れるので、境界項 $\frac{\partial L}{\partial y'}\eta$ が $x=b$ で $0$ になるには、$\frac{\partial L}{\partial y'}$ 自身が $b$ で $0$ でなければなりません。

「境界条件を自分で課さなくても、変分が勝手に端点条件を教えてくれる」——ここが面白いところです。たとえば 弾性棒の自由端では $\frac{\partial L}{\partial y'}=0$ が「端に力もモーメントもかからない」という物理条件に対応 します。固定端ならこちらが $y(b)$ の値を指定する（本質的境界条件）。端点で何を指定し何を自由にするかで、 境界条件のタイプが決まります。

横断性条件：端が曲線の上を動けるとき

もう一段一般に、端点が固定でも完全自由でもなく、ある曲線 $y=\psi(x)$ の上を動ける場合を考えます（終端が 壁ではなく斜面のような境界に乗る）。このとき端点の $x$ 座標 $b$ も動き、$\eta$ の端での値も $b$ の動きに 連動します。第一変分を丁寧に取り直すと、端点で次の条件が現れます。

名前の通り、解が終端の境界曲線と「どんな角度で交わるか」を決める条件です。たとえば最短経路問題 （$L=\sqrt{1+y'^2}$）でこれを計算すると、$1+\psi'y'=0$、すなわち $y'\cdot\psi'=-1$——解の曲線は境界曲線と 直交して終わる、という結論が出ます。「岸（境界）へ最短で着くには、岸に垂直に上陸せよ」。直感どおりの 幾何が、横断性条件から導かれます。

まとめ方：どの端点条件が要るか

端点の扱いは、問題設定によって次のように整理できます。停留条件は常に「E–L ＋ 端点条件」の二段構えです。

この章のまとめ

• 端点を自由にすると、部分積分の境界項 $\big[\frac{\partial L}{\partial y'}\eta\big]_a^b$ が消えず、そこから端点条件が生まれる。
• 自然境界条件（自由端）：$\frac{\partial L}{\partial y'}=0$。境界条件を課さなくても変分が教えてくれる。
• 横断性条件（可動端が曲線 $\psi$ 上）：$\big[L+(\psi'-y')\frac{\partial L}{\partial y'}\big]=0$。最短経路なら 解は境界に直交して終わる。
• 停留は常に「E–L 方程式 ＋ 端点条件」の二段構え。すべては境界項を許される揺らしで $0$ にする原理から出る。

前半（古典的変分法）はこれで一通り揃いました。次章は変分法の物理的な頂点、ハミルトンの原理。力学の法則が 「作用を最小にする」一言から出ること、そしてネーターの定理——対称性が保存則を生む——を見ます。