第8章ハミルトンの原理とネーターの定理

変分法の最も深い応用は、物理そのものです。ニュートンの運動方程式 $F=ma$ は、実は「ある量（作用）を最小にする」というたった一つの変分原理から導かれます。しかもこの見方をとると、第3章で垣間見た「対称性 → 保存則」が、完全に一般的な形——ネーターの定理——で結晶化します。エネルギー保存も運動量保存も角運動量保存も、すべて空間や時間の対称性の現れだった。変分法が物理の骨格になる章です。

ハミルトンの原理：自然は作用を停留にする

質点の運動を考えます。運動エネルギー $T=\frac12 m\dot q^2$ 、ポテンシャルエネルギー $V(q)$ の差 $\mathcal L=T-V=\tfrac12 m\dot q^2-V(q)$ をラグランジアン（力学の）といいます（ここでは時間 $t$ が独立変数、位置 $q(t)$ が未知関数）。その時間積分 $S[q]=\int_{t_0}^{t_1}\mathcal L\,dt$ を作用と呼びます。

定理ハミルトンの原理（最小作用の原理）

質点の実際の運動 $q(t)$ は、作用 $S[q]=\int_{t_0}^{t_1}(T-V)\,dt$ を停留にする。すなわち端点（始点・終点の位置）を固定した変分で $\delta S=0$ 。

この原理に E–L 方程式を適用してみましょう。 $\mathcal L=\frac12 m\dot q^2-V(q)$ に対し $\frac{\partial\mathcal L}{\partial q}=-V'(q)$ 、 $\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q}=m\dot q$ なので、E–L 方程式は $-V'(q)-\frac{d}{dt}(m\dot q)=0\ \Longrightarrow\ m\ddot q=-V'(q)=F.$ ニュートンの運動方程式 $ma=F$ が出ました。 力学の基本法則が「作用を停留にする」という変分原理と同値だったのです。この見方の威力は絶大です。座標を自由に選べる（極座標でも回転座標でも $\mathcal L$ を書けば E–L が正しい運動方程式を吐く）、拘束や多体系も統一的に扱える——これがラグランジュ力学です。

ルジャンドル変換：ハミルトン力学へ

ラグランジュ力学は速度 $\dot q$ を基本変数にしますが、視点を「位置 $q$ と運動量 $p$ 」に移すと、また違った美しい構造が現れます。橋渡しをするのがルジャンドル変換です。共役運動量を $p=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q}$ （＝ $m\dot q$ ）で定め、ハミルトニアンを $H(q,p)=p\dot q-\mathcal L$ で定義します（ $\dot q$ を $p$ で書き直す）。前章までの $H=L-y'\frac{\partial L}{\partial y'}$ の符号違いで、これはエネルギー $T+V$ に一致します。E–L 方程式は、 $H$ を使うと対称的な一階の連立系になります。

定理ハミルトンの正準方程式

$\dot q=\frac{\partial H}{\partial p},\qquad \dot p=-\frac{\partial H}{\partial q}.$ 二階の E–L 方程式が、位置と運動量についての一階の連立系に姿を変える。 $(q,p)$ の空間を相空間という。

ラグランジュ（ $q,\dot q$ ）とハミルトン（ $q,p$ ）は、同じ物理をルジャンドル変換で行き来する二つの言語です。ハミルトン形式は相空間の幾何（シンプレクティック幾何）や量子力学への橋渡しになります。変分原理という一つの源から、力学の二つの定式化が枝分かれするのです。

ネーターの定理：対称性が保存則を生む

いよいよこの章の頂点。第3章で「 $\mathcal L$ が $q$ を含まなければ運動量保存、 $t$ を含まなければエネルギー保存」と見ました。エミー・ネーターは、これをあらゆる連続対称性について一般化しました。

定理ネーターの定理

作用 $S$ が、ある連続変換（ $q\to q+\varepsilon\,K(q)$ のような一径数の変換）で不変なら、その対称性に対応する保存量 $Q=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q}\,K(q)=\text{一定}$ が存在する（運動方程式の解に沿って時間によらない）。連続対称性があれば、必ず対応する保存則がある。

証明

変換 $q_\varepsilon=q+\varepsilon K$ で作用が不変なら $\frac{d}{d\varepsilon}\big|_0 S[q_\varepsilon]=0$ 。この左辺は（第一変分の計算そのもので） $\int\big(\frac{\partial\mathcal L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q}\big)K\,dt +\big[\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q}K\big]$ 。解に沿えば括弧内（E–L）は $0$ だから、境界項 $\big[\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q}K\big]$ が任意区間で $0$ 、すなわち $Q=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q}K$ が時間によらず一定。対称性（ $\delta S=0$ ）と運動方程式（E–L $=0$ ）を組み合わせると、境界項＝保存量が残る。

この一本の定理が、物理の保存則をすべて統一します。

例対称性と保存則の対応

空間並進対称性（ $q\to q+\varepsilon$ 、 $\mathcal L$ が位置に依らない）→ 運動量保存。
時間並進対称性（ $\mathcal L$ が時間に陽に依らない）→ エネルギー保存。
回転対称性（ $\mathcal L$ が向きに依らない）→ 角運動量保存。どれも「その方向にずらしても物理が変わらない」という対称性が、対応する量の保存を生む。

「なぜ運動量は保存するのか？」——空間が一様（どこでも同じ）だから。「なぜエネルギーは保存するのか？」—— 時間が一様（いつでも同じ）だから。保存則は偶然の産物ではなく、宇宙の対称性の必然的な帰結だった。この深い洞察が、変分原理（作用の停留）を土台にして初めて言語化できるのです。リー群の連続対称性の理論と合流し、現代物理（場の理論・標準模型）の設計原理になります。

注意つまずきポイント

最小作用の「最小」は正確には「停留」。実際の運動が作用を最小にするとは限らず、停留（ $\delta S=0$ ）にするのが正しい。鞍点の場合もある（第9章の第二変分の話につながる）。
ラグランジュとハミルトンは同じ物理。ルジャンドル変換で行き来する二つの言語で、優劣ではなく使い分け。変分（ $q,\dot q$ ）か相空間（ $q,p$ ）か。
ネーターは「連続」対称性に効く。鏡映のような離散対称性からは（この形の）保存量は出ない。一径数の連続変換であることが証明で本質的（ $\varepsilon$ で微分するから）。

この章のまとめ

ハミルトンの原理：実際の運動は作用 $S=\int(T-V)\,dt$ を停留にする。E–L 方程式がニュートンの $m\ddot q=F$ を与える（ラグランジュ力学）。
ルジャンドル変換 $H=p\dot q-\mathcal L$ （＝エネルギー）で、二階 E–L が一階の正準方程式 $\dot q=\partial H/\partial p,\ \dot p=-\partial H/\partial q$ に（ハミルトン力学）。
ネーターの定理：連続対称性 → 保存量 $Q=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q}K$ 。空間並進→運動量、時間並進→エネルギー、回転→角運動量。保存則は対称性の必然。

物理を貫いたところで、後半は「本当に最小か・そもそも存在するか」という基礎へ戻ります。次章は第二変分—— 停留形が極小か鞍点かを判定するルジャンドル条件とヤコビ条件（共役点）を扱います。